Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

	-Х-С
			V 1,0

РИС. 13. функции X) и

- 5d/2/d5

РИС. 14. Функции £i(X)

удовлетворяет уравнению (11.199) и второму граничному условию (iI.199). Но

(ЫФ2/0е=0 = (Ф1 а, X)/d;)5=0 = - [Х" W (X).

Выбрав [А = = [Л/ (Х)]/\ получим, что функция

fUl, Х) = [yV (/.)]-/2ф,(;[Л/(Х)]/ X) (0<$<$,(Х)),

А ($, >.) = О, Ь (X) = [Л/ (X)]-/* < < со (11.203)

удовлетворяет всем условиям граничной задачи (11.199).

На рис. 13 и 14 показаны графики /i {I, X) при X = О, 0,5; 1,0, а также график функции $i (X), через которую координата п среднего фронта выражается по формуле

Го= $i(X)

4а2х(<-</+2 «С ф + 2)2

7tm2 ф + 2)2/U (X)

(11.204)

В приложениях особо выделяются движения с постоянным расходом закачки р = 0. При этом получается

/1 =

4тет

(11.205)

ro{t) = 1,537 (ах/Су/* Vt~to= 1,087(Cx/m)/4 yt

Задача о закачке или отборе газа через скважину. Рассмотрим горизонтальный пласт мощности Н, вскрытый совершенной скважиной и содержащий в начальный момент газ под давлением P=const. Допустим, что через скважину, радиус которой Го, начинается закачка или отбор газа с постоянным массовым дебитом q, причем <7>0 отвечает закачке, а <7<0 - отбору газа. Тогда имеем

др kp i д ( др\ . , „ kHfo I др\

Будем считать радиус скважины пренебрежимо малым (ниже приведем оценки, оправдывающие это допущение). Тогда условие (11.206) перепишется в виде:

v-qpo

дг 1г=о nkpgH

= -q. (11.207)

Итак, искомое распределение давления в пласте, удовлетворяющее уравнению (11.147) и условиям (11.206), зависит от определяющих параметров г, /, а, q, Р.

Можно убедиться в автомодельности рассматриваемого движения, так что распределение давления представляется в виде:

р = PFi (k, X), I = г (aPt)-i\ \ = qIP\ (11.208) где функция F\ (s, Ц - решение граничной задачи

2 + f + i-,T=0, (,] = -X,f,(co.X) = l. (11.209)

Качественная картина расположения интегральных кривых уравнения (II. 209) исследуется аналогично тому, как описано в п. 3.

Исследование показывает, что интегральные кривые, удовлетворяющие второму условию (11.209), распадаются на два класса, разделенные между собой интегральной кривой Fi($iX) = l, соответствующей, как легко видеть, Х = 0 (рис. 15). Кривые первого класса, располагающиеся над кривой F\{\, 0)е1, с уменьшением % до нуля подходят к оси ординат, асимптотически уходя в бесконечность, так что при $ О функци я F\ (с, X) медленно возрастает по закону

Р\{, Х) = (-Х1п)/5+0(1). (11.210)

Каждой из интегральных кривых первого класса соответствует свое значение параметра X, монотонно возрастающее от нуля до бесконечности по мере удаления от кривой F\{\, 0) = 1.

При S оо ординаты кривых обоих классов быстро стремятся к единице по закону

f 1 X) = 1 + О [;- ехр (- 8-2)]. (11.211)

Кривые второго класса, располагающиеся под интегральной кривой Fl (;, 0)= 1, не доходят до оси ординат, а заканчиваются, подходя под прямым углом к оси абсцисс - особой линии уравнения (11.209), поскольку на ней обращается в нуль коэффициент при старшей производной в этом уравнении. В таком случае вместо первого условия, которому удовлетворяют все интегральные кривые первого класса, соответствующие К>0, эти кривые удовлетворяют условию

(WFi/d05=w =-Х, (11.212)

где 1(Х) - координата точки пересечения рассматриваемой кривой с осью абсцисс. Каждой кривой соответствует определенное значение X, монотонно убывающее от нуля до - оо по мере удаления кривых от интегральной кривой Fi{l, 0) = 1.

Интегральные кривые второго класса описывают автомодельные движения, в процессе которых происходит не нагнетание газа в пласт, как в случае движений, отвечающих интегральным кривым первого класса (Я>0), а отбор газа из пласта с расходом, определяемым соответствующей этой кривой величиной X:

g = \T.kHpoPVlPo (П.213)

(в этой формуле масссовый расход q считается отрицательным).

Следует отметить, что, создавая достаточный перепад давления, можно, в принципе, закачивать газ в пласт с любым большим расходом через скважину сколь угодно малого радиуса. Однако отбирать его из пласта можно лишь при расходах, не превышающих того расхода, который соответствует установлению у стенки скважины нулевого давления. Дальнейшее увеличение расхода отбираемого газа возможно только при условии расширения скважины. Таким образом, в отличие от случая закачки газа нельзя ставить задачу об отборе его через скважину пренебрежимо малого радиуса. Кривые Fi(g, к) при к<0 (кривые второго класса) соответствуют автомодельным движениям, когда отбор газа с постоянным расходом, определяемым формулой (II. 213), происходит через расширяющуюся скважину с радиусом, увеличивающимся по закону

R = Г(Х) {aPty (11.214)

(причем на стенке этой расширяющейся скважины давление постоянно и равно нулю). Заметим, что расширение отбирающей скважины ни в коей мере не препятствует применению рассматриваемых решений к практическим задачам, поскольку для значений параметра К, представляющих практический интерес, эта фиктивная скважина, как показывают проведенные расчеты (см. ниже), всегда будет находиться внутри настоящей скважины.

Для дальнейшего изложения полезно выяснить, какой порядок величины X встречается в практических задачах. Возьмем в качестве примера случай, для которого величина X будет весьма