Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

ность потока (q/lL<l). Как показано ниже, эти основные закономерности сохраняются и для более сложных течений, в том числе и в задачах вытеснения нефти водой.

Задача 1. Используя соотношения (1И.23) - (111.24), показать, что для обобщенной трубки тока любой формы перепад давления при фильтрации с предельным градиентом удовлетворяет неравенству

Др> ДрдН-/,С = Дрд-Ь Дро, (111.58)

гд? Дод-перепад давления, ргссчитанный при G = 0; Z. - минимальное расстояние между «входом» и «выходом» трубки тока; Дрд - пороговый перепад давления, при котором начинается движение.

Задача 2. Построить отображение на плоскость годографа скорости фильтрации элемента симметрии течения, создаваемого кольцевой батареей п равно-дебитных стоков интенсивности q и центрального источника интенсивности Q = nq. Как при такой геометрии течения будет располагаться застойная зона в случае фильтрации с предельным градиентом?

Задача 3. Показать, что для уравнения закона фильтрации вида

Ф {W) = (w+ 1У (111.59)

функция \> {W, 0) может быть выражена через гармоническую вспомогательную функцию. (Этот результат впервые получен С. В. Панько.)

Задача 4. Показать, что при произвольном законе фильтрации уравнение (111.30) допускает частное решение вида

{W, 6) = PJ- (W) sinfl, Р7 {W) = [Ф (оу)]- J оФ(г)) dv. (111.60)

Указать гидродинамический смысл полученного решения; проанализировать его структуру для степенного закона фильтрации и для фильтрации с предельным градиентом.

Задача 5. Показать, что при нелинейной безнапорной фильтрации образом свободной поверхности на плоскости годогра4а служит кривая [43]

-Ф (оу)-f С sin й = О, C=kpg/ii.. (111.61)

Задача 6. Используя формулу (111.42), получить связь между дебитом и перепадом давления для притока к скважине при двучленном законе фильтрации - См. формулу (1.13).

§ 3. Нестационарные задачи фильтрации неньютоновских жидкостей

Нестационарные процессы в пластовой системе прн фильтрации неньютоновских жидкостей обладают определенными особенностями, позволяющими в некоторых случаях обнаружить нарушения закона Дарен, оценить их количественно и дать прогноз их возможного влияния на показатели разработки нефтяного месторождения. Поэтому наблюдение нестационарных процессов - важный источник информации о свойствах пластовой системы.

Основные уравнения. Пусть Р (х, у, z) - распределение давления, отвечающее некоторому стационарному фильтрационному движению, а р (х, у, z, t) - распределение давления в нестационар-.чом процессе, :1ачинающемся в момент = О, причем

р(х, у, z,0) = P. (HI.62)

Разность

р-р - Р (III.63)

назовем возмущением давления или отклонением от стационарного состояния.

Комбинируя уравнения неразрывности слабосжимаемой жидкости

т/(->,,+div» = 0 (III.64)

и закона фильтрации, которое запишем в виде

grad р - -ПФ (и/Ц и/и, и = -Хф (I VP 1/П) VP/I VP I (И 1.65)

(П - характерное значение градиента давления; X - характерное значение скорости фильтрации), получаем систему уравнений фильтрации неньютоновской жидкости при упругом режиме, которую можно привести к одному уравнению др 1К

\ п jiVpl

(III.66)

Стационарное распределение, для которого p,t =0, также удовлетворяет уравнению (III.66) или системе (III.64) - (III.65).

Однако р, будучи разностью двух решений уравнения (III.66), вообще говоря, из-за нелинейности функций Ф и Ч, не является решением. Таким образом, при нелинейной фильтрации несправедлив принцип суперпозиции решений, и характер возмущений зависит, вообще говоря, не только от свойств пластовой системы и инициирующих возмущение внешних воздействий (например, пуск скважины), но и от начального состояния. Далее в тех случаях, когда особо не оговорено противное, будем считать начальное состояние отвечающим первоначально невозмущенному пласту (P = Po = const), причем в силу того, что в уравнения (III.64)- (III.66) давление входит только под знаком производных, можно положить Ро = 0, р=Р-

Бегущая волна. При распространении возмущения с той или иной степенью строгости выделяется фронт возмущения, отделяющий невозмущенную область от области возмущения.

Выберем вблизи фронта возмущения некоторую малую область, движущуюся со скоростью фронта. В силу малости области распределение давления в ней можно в любой момент считать стационарным

Будем искать поэтому решение уравнений (III.64) - (III.65), соответствующее бегущей (равномерно распространяющейся в направлении оси Ох) волне:

p = p(x-W), « = «($), $ = л;-W. (III.67)

Читатель, знакомый с методом сращиваемых асимптотических разложений, легко заметит, что речь идет, по существу, о построении виутрениего решения задачи, отвечающего структуре фронта. Нетрудно проделать соответствующие формальные рассуждения.

РИС. 28. Распределение давления вблизи фронта возмущения при нелинейной фильтрации.

Волны: а-с бесконечной скоростью распространения; 6 - с конечной скоростью распространения

Подставляя выражения (HI.67) в систему (HI.64) - (HI.65), получим

(И1.68)

откуда

dUldk = -vФ (t/), и = uA, V = mVRjlK, I -o(t/)/v, p = nt v + p„, ={и)=1Щи)]-Чи. (HI.69)

Из очевидных условий на бесконечности р = и = О, $ оо получаем р«, = 0. Дальнейшие выводы сушественно зависят от характера закона фильтрации. Если Ф (U) при U ~уО остается конечным либо стремится к нулю достаточно медленно (например, как t/S s< 1), то интеграл в (П1.69) сходится на нижнем пределе и, следовательно, сушествует граница k = Ь, на которой и правее ее р = и = 0, т.е. волна распространяется с конечной скоростью. В силу произвола в выборе начала отсчета k будем полагать U = 0. Вблизи фронта волны k = ko производная dk/dU обрашается в бесконечность, если Ф (0) = О (предельный градиент давления отсутствует), и конечна при фильтрации с предельным градиентом. Таким образом, на переднем фронте волны давление и скорость фильтрации обращаются в нуль плавно, если предельного градиента нет; при наличии предельного градиента на фронте волны распределение давления имеет угловую точку (рис. 4.8).

Устремим теперь U к бесконечности. При этом, если о(оо) = оо, то k--оо; если же о(оо)< оо (так будет, например, при Ф (t/) - - С > l)i то давление и скорость фильтрации в равномерно движущейся волне обращаются в бесконечность в конечной точке. Выбрав точку, совпадающую в начальный момент с фронтом волны, за входное сечение (х = 0) пласта и полагая в полученных соотношениях k = -Vt, найдем, по какому закону нужно менять во времени давление в этом сечении для того, чтобы волна в пласте двигалась равномерно. Обращение этого давления в бесконечность за конечное время означает, что добиться равномерного движения волны давления в течение более длительного времени невозможно; она должна начать замедляться.

В рассмотренном решении наиболее существенным моментом является характер изменения давления и скорости фильтрации вблизи фронта волны. Скорость распространения возмущений конечна, если интеграл (HI.69) сходится на нижнем пределе (в частности, при законе фильтрации с предельным градиентом), и