Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

(под углом 9 при этом естественно понимать направление не обращающегося в нуль вектора градиента напора УЯ; оно совпадает с направлением касательной к границе застойной зоны). Таким образом, в задачах фильтрации с предельным градиентом преобразование годографа не только позволяет преобразовать нелинейную задачу в линейную, но и область с неизвестной границей застойной зоны переводит в известную область плоскости годографа.

Во всех случаях показанная на рис. 22 область в плоскости годографа отвечает элементу симметрии области течения; соответствие точек показано буквами, а граничные условия задачи в плоскости годографа указаны на рисунках. Заметим, что при анализе течений с предельным градиентом удобно считать, в отличие от общепринятого, ш и Э декартовыми (а не полярными) координатами в плоскости годографа. Вызвано это тем, что асимптотика решения вблизи линии w = 0 нетривиальным образом свя-

РИС. 22. Примеры отображриия области течения на плоскость годографа. Расстановка скважин:

а - рядная цепочка скважин: б - площадная (элемент пятиточечной системы площадного заводнения)

1/2 Л

1/4 Я

1/2 J

3-ана со структурой течения и ее можно задавать по-разному.

После сведения задачи при помощи преобразования годографа к линейной эллиптической задаче в известной области решение ее оказывается делом математической техники, хотя порой и достаточно сложной. Отсылая интересующихся этой, сейчас уже достаточно разработанной, стороной дела к книге [9], рассмотрим некоторые простые решения.

Как обычно в гидродинамике, для качественного анализа принципиальное значение имеет исследование асимптотики решения вблизи особых точек потока. Такими точками являются, прежде всего, окрестности источников и стоков (скважин), где скорость потока обращается в бесконечность, окрестность бесконечно удаленной точки, в которой скорость стремится к нулю, окрестность критической точки потока (при фильтрации с предельным градиентом давления - застойной зоны), где скорость потока обращается в нуль, и окрестность угловых точек границы потока.

Рассмотрим течение вблизи скважины. Окружим ее линией Га, на которой модуль скорости имеет некоторое постоянное значение W =Q к которая целиком расположена внутри области движения. На плоскости годографа области внутри этой линии отвечает пол у полоса Пд:

2<ш<со, 0<е<2г, (ПГ32)

в которой искомое решение задачи для функции тока ф (w, 6) удовлетворяет уравнению (ПГЗО) с условиями

ф (0) = О, -Н2и) = <?, ф(2, е) = /(е), /(0) = 0, /(2и) = <7, (ПГЗЗ)

Ь (оо, 0) < М < оо.

Здесь q - интенсивность источника; / (6) - неопределенная функция, характеризующая распределение потока вдоль линии Гд. Последнее условие означает, что функция тока вблизи особой точки ограничена и мы имеем дело именно с источником (а не с комбинацией источника и диполя).

Если считать функцию / (6) известной, решение в области Щ легко получить методом Фурье, поскольку независимо от вида закона фильтрации уравнение (ПГ31) не содержит в явном виде угловой переменной 6. Нетрудно убедиться обычными методами, что в данном случае имеем

ф(ш, 0)= f P„/2Hsin, w>Q, (1И.34)

n = l

где Рп/2{Щ-убывающее на бесконечности решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения

хюФ (w)

/2 Ф р = о, 1 = -!гП. (П1.35)

Рассмотрим широкий класс законов фильтрации со степенной асимптотикой в области больших скоростей

Ф(цу)~ФосШ (шоо), s>0. (ИГЗб)

Тогда при w--*- оо уравнение (111.35) асимптотически переходит в

[s-ш»/"] -4-л2ш»-2Р - О, (III.37)

линейно независимые решения которого - степенные функции

P,,2-гiь•, г,. 2 = 2- [1 - S + Vsn- + {I - sf]. (III.38)

Очевидно, показатели г\, 2 вещественны и имеют различные знаки. Таким образом, одно из линейно независимых решений уравнения (III.37) можно выбрать убывающим на бесконечности, причем другое оказывается неограниченно возрастающим. Из сказанного легко заключить (и это можно доказать строго), что условием ограниченности на бесконечности выделяется единственное с точностью до множителя решение уравнения (И1.35), которое при ш->-оо убывает как

ш., Г2 = 2-{(1 -S) -[(1 -s)2 + sn2]/2}. (П1.39)

В частности, при линейном возрастании Ф(И)) в области больших скоростей s=l, Г2= - 1/2л, а P„/2{w) убывает с ростом w как ш-/зп.

Таким образом, при ил- со

ф(ш, е) = - + 0(ш). (111.40)

Тогда из (И 1.28) и (И 1.29) имеем

H = H{w)= ±[ -dw, X + iy = гё\

dr-Ф-Ш, r=-f f = /-. (П1.41)

Очевидно, формулы (HI.40) и (HI.41) описывают плоско-радиальное фильтрационное течение вблизи источника. Течение обладает осевой симметрией; распределения скоростей фильтрации и функции тока не зависят от вида закона фильтрации, линии тока - радиусы, исходящие из источника; скорость убывает обратно пропорционально расстоянию от источника, линии постоянного напора - концентрические окружности с центром в источнике.

Тем самым показано, что при любом законе фильтрации Ф{w) и любой геометрии пласта течение в промежуточно-асимптотической области р<г</?, где р -радиус скважины; /? -внешний масштаб пластовой системы (например, расстояние между скважинами или расстояние от скважины до границы пласта) - простейшее плоско-радиальное течение. Используя (III.41), легко находим формулу, связывающую расход фильтрационного потока с перепадом напора -Н2 между двумя концентрическими линиями постоянного напора: