Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

дем новую единицу длины sjL по оси С, оставив масштаб по другим осям равным L, и «быстрое» время е =&/£i. Тогда производные по С будут иметь порядок единицы, а производные по остальным пространственным переменным-£\.

В нулевом приближении по е, получаем из (IV. 124) уравнения

diji

-ЗУ = О-

= 0, (IV. 125)

РИС. 49. К исследованию уравнения (1V.129)

Для нахождения в нулевом приближении структуры фронта ищем вновь решение системы (IV.125) в виде бегущей волны:

S = S (f), Ус = У: (£), а = С -с9. (IV. 126)

Из второго уравнения (IV.125) получим Уг = const = У, причем У определяется из внешнего решения. Подставляя (IV. 126) в (IV.125) и интегрируя, находим

- mcs -}- yf (s - cs)= const.

(IV. 127)

Граничные условия имеют вид s(-оо) = S2, s(co) = s,, где 5,, S2 берутся из нулевого приближения внешнего решения, т. е. в одномерном случае - из решения Баклея - Леверетта. При С = = 4- со 5=0, так что из (IV. 127) следует

const = - mcs2+ VF {s); с = -

V F(s2)-F(5,)

(IV. 128)

Подставляя это выражение в уравнение (IV. 127), получим:

F(s2)-F(.,)

F{S-CS)=FiS2) +is - S2)

(IV. 129)

Это уравнение легко исследуется графически (рис. 49). Отрезок АВ соответствует правой части уравнения (IV.129); отсюда следует, что отрезок ВС соответствует - cds/dk. Таким образом, при изменении S от S2 до Sl величина - cds/dk все время остается положительной; она обращается в нуль по краям интервала и имеет один максимум.

Перепишем уравнение (IV. 129) в виде

F (S,) - f (s.)

(IV. 130)

где X - функция, обратная F, очевидно, она определена и монотонно возрастает на отрезке [О, 1]; правая часть уравнения (IV.130)

обращается в нуль по концам интервала [s\, S2] и положительна внутри него. Интегрируя уравнения (IV. 130), получим

" J .-I If Ml

Из этого соотношения, как и в § 3 данной главы, получаем для эффективной толщины фронта вытеснения-расстояния, на котором насыщенность изменяется от Si -\-Ь до S2 - 3,

Л = X - - (IV. 132)

J s-x[f(s)]

s, + S

Таким образом, в отличие от структуры, непосредственно обусловленной влиянием капиллярного давления (стабилизированной зоны), толщина фронта вытеснения при преимущественном влиянии неравновесности прямо пропорциональна скорости вытеснения.

Заметим, что отношение малых параметров, отвечающих двум указанным физическим эффектам, равно

= "-2111 (IV.133)

Поэтому классическая модель, приведенная в § 3 данной главы и отвечающая е/е > 1, справедлива при малых скоростях вытеснения, а рассмотренная в данном параграфе модель, когда e/si < 1 (преимущественное влияние неравномерности), соответствует большим скоростям. Учитывая результаты § 3 данной главы, приходим к выводу, что зависимость толщины фронта вытеснения от скорости имеет вид немонотонной кривой, неограниченно возрастающей как при малых, так и при больших скоростях. Этот вывод согласуется с лабораторным экспериментом (см. рис. 44).

Для условий вытеснения нефти водой в нефтяном пласте ;0,01 Н/м, т;0,1; klQ-M, jx, Ю-з Па-с. Тогда е/е, ~ - (106-10)/т, где т - характерное время установления равновесия в секундах. Если учесть, что это время, как показывают оценки, может быть весьма велико - до года и более, то в обычных условиях основную роль играют эффекты неравновесности. Поэтому в промысловых условиях толщина фронта должна расти с ростом скорости вытеснения, и в конце концов может стать сопоставимой по размерам с размерами пласта.

Эти выводы, полученные здесь на простейшей модели неравновесности, имеют общий характер. Из них следует существенность неравновесных процессов при разработке нефтяных месторождений и необходимость их изучения и учета при проектировании разработки.

§ 5. Устойчивость вытеснения несмешивающихся жидкостей

Для того, чтобы реально осуществлялись движения, описываемые приведенными выше решениями уравнений двухфазной фильтрации, они должны быть устойчивы, по крайней мере, к малым возмущениям. Возмущения, связанные с неоднородностью среды и непостоянством скорости фильтрации, всегда возникают при течении жидкостей в реальных пористых средах. Они могут быть немалыми, тогда устойчивость к малым возмущениям есть необходимое, но не достаточное требование.

1. При исследовании устойчивости решения Баклея - Леверетта в крупномасштабном приближении нужно ограничиваться возмущениями, длина волны которых (кривизна фронта скачка) велика по сравнению с толщиной стабилизированной переходной зоны. Рассмотрим устойчивость плоскопараллельного вертикального вытеснения несмешивающихся жидкостей с учетом силы тяжести. Уравнения двухфазной фильтрации в крупномасштабном приближении запишем в виде

Я/ = - {kfi (s)/jx/) grad ip + Pigx), /=1,2, (IV. 134) mds/di-\-diw ui = 0; div и = 0; и = «i + «2. (IV. 135)

Компоненты векторов « по осям х, у, г обозначим и,-, Vj, Wj. Ось X направлена вертикально вверх.

Течением, устойчивость которого исследуется, является плоскопараллельное движение вдоль оси х с постоянной скоростью фильтрации ио = Ио + «20. Позади и впереди скачка, движущегося со скоростью У, насыщенность постоянна и равна соответственно S- = Sc, S+ = So. При этом выполняются соотношения (см. § 2 данной главы):

У = «o(-to)/m(s,-so), (IV. 136)

«1 = «10 = «офо С < О,

«1 = «10 =«офо, С > О,

(IV. 137)

где = ф (sc); фо = Ф (so); Ф (s) = f (s) [ 1 - Wh (s)/«o]; W = kApg/; Др = pi - P2, С = л: - Vt.

Распределение давления описывается соотношениями, вытекающими из уравнений (IV. 134) и непрерывности давления на скачке

рГ = - Ык) («о/ср. + WFc) С + Р2: + Ро, (С < 0), jg

Ро+= - (,ич/:) («о/сро + \FPo) ; + P2gfC + Ро, (С>0),

где cpc=cp(Sc); cpo = f (So); Fc = F{Sc); Fo = F (so); Po = const; cp (s) = = /l (S) -f Ы2 (S), JJ.0 = [J.i/iJ.2.