Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [ 40 ] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

на только твердыми стенками. Поскольку сопротивление движению каждой фазы определяется только геометрией занимаемой ею части порового пространства, то закон фильтрации каждой из жидкостей двухфазной системы по Маскету и Леверетту можно записать в виде

tti = - {kfdi) gradp,, J = 1, 2, (IV.8)

где /,• - безразмерные величины, называемые относительными фазовыми проницаемостями.

Пусть совместное течение двух фаз медленное, так что изменение насыщенности происходит квазиравновесным образом. Силы вязкого сопротивления можно рассматривать как распределенные массовые силы, пропорциональные скорости фильтрации. В одномерном случае из уравнений (IV.8) можно получить выражение, аналогичное по форме (IV.3):

д (Р2 - Pi)/dx =Ui- Ь\; и с - (I V.9)

При выводе выражения (IV.4) неявно предполагалось, что Pc{S)-характеристика, зависящая от структуры порового пространства и поверхностных сил взаимодействия жидкостей между собой и с твердым скелетом, но не от гравитационных (массовых) сил. Это предположение подтверждается определениями кривых капиллярного давления с использованием различных жидкостей и путем центрифугирования [23]. Расуждая по аналогии, можно применить тот же вывод к распределению фаз в порах при медленной квазиравновесной совместной фильтрации, т. е. принять, что при данной насыщенности жидкости распределены так же, как и в условиях гидростатического равновесия. Это означает, во-первых, что разность давлений в фазах рг-Pi может быть принята равной капиллярному давлению Pc{s) и зависящей только от насыщенности:

P2~p\ = Pc{s) = a.YmJ {s)lVk. (IV. 10)

Во-вторых, как уже отмечалось, капиллярные силы в поровых каналах существенно преобладают над внешним перепадом давления и определяют распределение фаз в порах. Поэтому можно допустить, что каждая из фаз движется по «своей» системе поровых каналов, ограниченных твердым скелетом и другой фазой. Таким образом, при данной насыщенности гидравлические сопротивления, а следовательно, и проницаемость для каждой из фаз оказываются однозначно определенными.

Эксперименты показали [27, 48], что в широком диапазоне условий совместного течения и вытеснения двух фаз в пористых средах относительные проницаемости не зависят от скорости фильтрации и отношения вязкостей движущихся фаз. Это можно объяснить тем, что поверхность соприкосновения (и сила взаимодействия) каждой из фаз с твердым скелетом намного больше, чем с другой фазой. В некоторых исключительных случаях взаимодействие подвижных фаз все же проявляется. Например, иногда

маловязкая вытесняемая фаза кратковременно образует для высоковязкой вытесняющей жидкости на поверхности скелета слой «смазки» и относительная проницаемость для вытесняющей фазы возрастает до значений, больших единицы. Но такой слой смазки, по-видимому, неустойчив и существует недолго.

В дальнейшем изложении, если не оговорено противное, относительные проницаемости и функция Леверетта считаются однозначными функциями насыщенности, не зависящими от отношения вязкостей.

Типичный вид функций относительной проницаемости для более смачивающей фазы /i (s), (s - ее насыщенность) и для менее смачивающей фазы /2(5) показан на рис. 37. Эти кривые получены при стационарном совместном течении воды и нефти на малых образцах песчаника.

Характерная несимметричная форма кривых относительной проницаемости объясняется тем, что при одной и той же насыщенности более смачивающая фаза занимает преимущественно мелкие поры и относительная проницаемость для нее меньше. При малых насы-щенностях часть каждой из фаз находится в несвязном состоянии в виде изолированных мелких капель или целиков и не участвует в движении. Поэтому, начиная с некоторой насыщенности, каждая фаза полностью переходит в несвязное состояние и ее относительная проницаемость становится равной нулю, т. е. /i (s) = О при S < s,, /2 (s) = О при S > S* = 1 - а.

Заметим, что хотя речь идет о совместной фильтрации двух несмешивающихся жидкостей, приходится различать вытесняющую

и вытесняемую фазы, т. е. относительные проницаемости, как и кривые капиллярного давления, различны в зависимости от того, какая из фаз (более или менее смачивающая) первоначально заполняла пористую среду, т. е. существует гистерезис относительных проницаемостей, аналогичный гистерезису кривых капиллярного давления. «Неподвижные» насыщенности s, и о. совпадают с «неснижаемыми» насыщенностями на кривых капиллярного давления.

Итак, если распределение фаз в порах равновесно, для фильтрации двухфазной жидкости справедливы уравнения Маскета и Леверетта

Bi = - {kfiis)f}>.i) grad Pi, t = 1, 2,

(IV.ll)

P2-p\=Pc{s). (IV. 12)

РИС. 37. Типичные кривые относительных проницаемостей: F(s) - Функция Баклея - Леверетта; F(S) - ее производная (io=0.5)

Чтобы получить замкнутую систему уравнений, необходимо записать уравнения сохранения массы для обеих фаз, которые выводятся совершенно аналогично тому, как уравнение неразрывности для однофазного течения (1.16):

J-(mp,s)-div(p,«,) = 0, (IV.13)

А [тр2 (1 - S)] - diV (Р2И2) = 0. (IV. 14)

Поскольку pi и р2 - функции давлений pi и р2, а изменение пористости в однородном пласте зависит только от изменения среднего давления p = pis + p2(l-s), уравнения (IV.11) - (IV.14) образуют замкнутую систему для pi и s.

Если вытесняемая и вытеснякщая фазы - слабссжимаемые капельные жидкости, влиянием сжимаемости на распределение насыщенности часто можно пренебречь. Действительно, характерное время нестационарного перераспределения давления за счет сжимаемости составляет ii = L/x, где х - коэффициент пьезопроводности; L - характерный размер. Характерное время вытеснения i2 = L/u, где и - средняя скорость фильтрации. Обычно скорость фильтрации равна около 10- см/с, L не более Ю*-10 см, а х: lO* см2/с. Поэтому Л/2 = uLjx: 10-2, откуда видно, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале вытеснения.

Если жидкости и пористую среду можно считать несжимаемыми, вместо (IV. 13) и (IV. 14) получаем соотношения

mdsjdt - div u\ = 0; mdsjdt + div «2 = 0. (IV. 15)

Уравнения (IV. 15) замыкают систему уравнений фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости (IV. 11) - (IV. 12).

Иногда неудобно использовать в уравнениях фильтрации р\ и р2, так как давление в каждой из фаз не определено в тех областях, где соответствующая фаза неподвижна или отсутствует. Введение среднего давления в виде р = pis + р2 (1 - s) может быть удобно для учета сжимаемости скелета пористой среды, но приводит к довольно громоздким соотношениям при общей формулировке задач вытеснения. Для несжимаемых жидкостей оказывается удобным определить среднее давление по формуле

Pp,F{s) + p2[\-F (S)] - [ Рс (S) F (S) ds, (IV. 16)

где F (S) = /1 (s)/[/, (S) + [хо/2 (S)], [хо =

Из (IV. 12) и (IV. 16) нетрудно получить 1

Pl==P + l Ра (S) F (S) ds-Pc(s)[\-F (S)],

P2=P + lPc (s) F{s) ds + Рс (s) F (s). (IV. 17)