Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

образом, чтобы она представлялась отрезком некоторой кривой II класса вплоть до точки с пересечения этой кривой с осью абсцисс и далее самой осью абсцисс, то полученная функция в точке 1 = 1с будет иметь разрыв производной от квадрата.

Разрыв производной на графике Р от $ соответствует нарушению непрерывности потока жидкости, что противоречит постановке задачи. Поэтому ни одна из функций /(, I), составленной из интегральной кривой II класса (при С 0), продолжаемой на оси абсцисс, не может быть решением.

Искомым решением, непрерывным и обладающим непрерывной производной от квадрата, будет функция, представленная кривой, состоящей из отрезка интегральной кривой, разделяющей кривые I и II классов, вплоть до пересечения ее с осью абсцисс в некоторой точке = 0, и совпадающей с осью абсцисс при > Ассама функция непрерывна по построению; проверим непрерывность производной от квадрата в точке пересечения = (в остальных точках эта непрерывность не вызывает сомнений, поскольку интегральная кривая состоит из двух участков гладких кривых). При подходе к точке = справа, где интегральная кривая совпадает с осью абсцисс, предел (d/2/dS)E=£„+o равен нулю. При подходе к точке = слева предел

С учетом сказанного вышг также равен нулю. Таким образом, для построенной функции производная d/dk непрерывна.

Покажем теперь, что построенная функция удовлетворяет условию (11.156). Умножим обе части уравнения (11.153) на и проинтегрируем в пределах от = О до = со (или, что то же, до S = (1, так как при > ko f{k, l) = Q). Получим

So U "2 2

-XJf(S, X)d;+pU. + pd; = 0. (II.I60)

Ho вследствие непрерывности / и dp/di имеем

p2d = 2/-2p fil, X)d; = -2lf/(£, l)dV,

0 0 0 0

i-de = /2(0, X)= 1,

откуда и из (11.160) получаем

if/(, l)dk = ]kfil, l)dk==il+l)-\ (11.161)

что и требовалось доказать.

Таким образом, функция f{k, X) отличается от нуля лишь при < $0, а при k > b она тождествен«о равна нулю. Разумеется,

величина Ь зависит от параметра X. В точке $ = $о функция /(; X) имеет разрыв первой производной.

Из требования непрерывности функций / и df/di и теоремы единственности решения дифференциального уравнения следует, что при составлении функции X) склеивание различных интегральных кривых уравнения (11.153) можно производить только в точках, где / = О, откуда непосредственно вытекает единственность построенной нами функции, т. е. единственность автомодельного решения.

Для эффективного вычисления функции /(, X) удобно поступить следующим образом. Получим (например, численно) решение Ф(, X) уравнения второго порядка (11.153), обращающееся при = 1 в нуль и имеющее в этой точке конечную первую производную, т. е. соответствующее разделяющей интегральной кривой, проходящей через точку =1. Можно показать, что эта производная равна -1/4. Функция W (I, X), равная Ф(, X) при <1 и тождественно равная нулю при > 1, непрерывна и имеет непрерывную производную от квадрата, удовлетворяет уравнению (11.153) и условию при -="00, но условию при = О не удовлетворяет.

Для получения искомого решения вспомним, что функция

/($, X) = (.-2vf((,, X) (11.162)

также удовлетворяет уравнению (11.153) при произвольном (а>0 и обладает нужными свойствами непрерывности. Выберем теперь [J. = (J.1 таким образом, чтобы функция f{, X) удовлетворяла также и условию /(О, X) = 1, тогда полученная функция f{k, X) будет удовлетворять всем условиям, налагаемым на искомое решение. Имеем

f{0, X) = 1=,оФ{0, Х) = (.#(Х), откуда получаем

(о=Л/ЧХ). (11.163)

Значение $о, начиная с которого f{l, X) = О, очевидно, равно

0 = [,= (X). (11.164)

Результаты вычислений /(, X) для ряда значений X приведены на рис. 11; на рис. 12 представлены функции Ь(>-) и М (1) - = -dp (О, l)/di. Видим, что кривые /(, X), соответствующие X > 1/2, обращены вогнутостью вверх; кривая, соответствующая X = 1/2, является ломаной, составленной из двух прямых; при Х< 1/2 кривые /(, X) обращены вогнутостью вниз, причем вплоть до функции, соответствующей Х = -1/2, производная /(О, X) отрицательна. Значению Х = - 1/2 соответствует функция

fik, - 1/2) = 1 - 2/8; 0<e</"8i"/(, -1/2) = 0, >/"8,

(11.165)

имеющая /(О, - 1/2) = 0. При X < -значения/(О, X) положительны.

РИС. 11. функция f (£, I)

РИС. 12. Функции S„ (X), М(1)

Функция UQ-) МОНОТОННО возрастает с убыванием X, стремясь к бесконечности при X, стремящемся к -1 (решение, соответствующее Х = -1, будет рассмотрено ниже).

Переходя от функции / (1, X) к напору жидкости h, получаем, что он отличается от нуля в каждый момент времени лишь в некоторой конечной части рассматриваемой области пористой среды, причем размер этой области со временем увеличивается. Конечность скорости распространения передней границы возмущенной области характерна для рассматриваемого круга задач, отвечающих нулевому начальному условию; она существенно отличает постановку задачи о пологих безнапорных движениях от задач, связанных с классическими линейными уравнениями параболического типа, для которых, как известно, бесконечна скорость распространения переднего фронта возмущенной области.

Эта особенность была впервые обнаружена в работах Я. Б. Зельдовича и А. С. Компанейца (1950) и Г. И. Баренблат-та (1952) путем исследования различных автомодельных решений. Г. И. Баренблаттом и М. И. Бишиком (1956) было дано доказательство конечности скорости распространения передней границы возмущенной области для задач пологих безнапорных движений (а также широкого класса более общих задач), соответствующих начальным распределениям напора жидкости, тождественно равным нулю вне некоторой конечной области.

Координата движущегося переднего фронта жидкости для рассматриваемых автомодельных движений выражается формулой

Хо (/) = ko [ао (t - /о)"+/(а + 1)]" (II. 166)

(поскольку передний фронт соответствует k = о); напомним, что параметры а и X связаны между собой соотношением X = а/(а -f 1). Скорость распространения переднего фронта v» представляется соотношением

ие = 2->со [ао (t - /о)"- (а -f 1)]/2.