Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

в частности, когда напор на границе пласта постоянен, т. е. а = О, то

xo{t) = 2,286 Vao{t -to); vo = I,l43yaa/{t - to). (11.167)

Далее, для суммарного объемного количества жидкости в пласте М получается следующее выражение:

За+1

M=Jmh{x, Orfx="°3--° 1/(, l)dl, (11.168)

о У а -j- 1 о

а для потока жидкости при х=0, т. е. для скорости притока жидкости в пласт, в силу (II. 155) - выражение

-т (1")„Г - " - «" <"-

Интегрируя обе части уравнения (11.153) по $ от = 0 до 5 = оо или, что все равно, до = о, поскольку X) = О при i > 0, получаем

2 df

J/(S, X)d = --

(11.170)

В результате формула (11.168) приводится к виду:

9 +3"

Л1 = --рта/2аЗ/2(1+ а)/2(/ -/о) . (11.171)

Таким образом, предыдущие соотнощения показывают, что рещения, соответствующие О < а < со, т.е. 0<Х<1, отвечают возрастанию напора жидкости на границе и общего количества жидкости в пласте; для рещения, соответствующего а = X = О, напор жидкости на границе постоянен в ходе всего процесса, количество ее в пласте возрастает. При - 1/3<а<0, т.е. - 1/2<Х<0, напор на границе в начальный момент бесконечен и убывает с течением времени до нуля; количество жидкости, первоначально равное, как и во всех предыдущих случаях, нулю, со временем увеличивается. При а = - 1/3, т. е. X = - 1/2, напор на границе в начальный момент бесконечен и с течением времени убывает до нуля; общее количество жидкости в пласте постоянно в течение всего процесса - жидкость через границу x = 0 в пласт не поступает. Во всех указанных случаях на границе пласта х = 0 во всякий момент времени достигается максимальное для этого момента значение напора. При -1/2 < а <-1/3, т. е. -1<Х< < - 1/2, напор жидкости на границе в начальный момент бесконечен и с течением времени убывает до нуля. Общее количество жидкости Б начальный момент бесконечно велико и с течением времени убывает, стремясь к нулю, так что на границе пласта жидкость уже не втекает в него, как в предыдущем случае, а вытекает. Тогда на границе пласта напор жидкости уже не будет

максимальным; максимальное его значение достигается в некоторой внутренней точке пласта, различной для разных моментов времени.

Рассмотрим частный случай, соответствующий линейному возрастанию напора жидкости на границе пласта, т.е. когда а=1. При этом

/1(0, t) = <:{t~to), %xVTla{t-tQ)-\ (П. 172) а уравнение (П. 153) принимает вид:

Как нетрудно проверить, функция

/($, 1)= 1-/2, 0<$<Ь = 2, /($, 1) = 0, $o<S (11.174)

удовлетворяет уравнению (11.173) и всем условиям задачи, откуда получается

h {X, t)==o{l - to)-x (2а/а)-/2,

О < X < {2ааУЦ1 - fo); (П.175)

к(х, /) = 0, (2аа)/2(/-/о)<л;<со.

Координата переднего фронта жидкости Xo{t) и постоянная скорость распространения переднего фронта выражаются следующим образом:

л;о(/) = (2аа)/2(/ -/о), t>o = (2аа)/2. (11.176)

Таким образом, график распределения напора жидкости а пласте представляется отсекаемым осями координат отрезком прямой линии, перемещающейся параллельно самой себе с постоянной скоростью.

Предельные автомодельные движения. Рассмотрим для того же полубесконечного пласта несколько иную задачу. Будем исследовать движение на полубесконечном интервале времени (-оо, t), поэтому начальное распределение напора по пласту несущественно.

Предположим, что на больших расстояниях от границы пласта, т. е. при д;-> оо, напор жидкости равен нулю, следовательно:

h{, 0 = 0. (11.177)

Пусть, далее, напор жидкости на границе пласта возрастает со временем по экспоненциальному закону

/1(0, t) = hoe-, (11.178)

а внутри пласта h (х, t) по-прежнему удовлетворяет уравнению

Составим полный список аргументов, от которых зависит это решение. Помимо координаты х и времени t, в список войдут

также величины Ло, х и а. Тогда размерн(х;ти всех определяющих параметров решения представляются в виде:

W = L, m = r, [а] = [/1]-РГ-, lho] = [h], [x] = r-, (11.180)

где по-прежнему символы L, Т w \h] означают, соответственно, размерности длины, времени и напора. Из пяти аргументов (11.180) с тремя независимыми размерностями можно составить две независимые безразмерные комбинации, которые удобно взять в виде .г (x/afto), Отсюда и из анализа размерностей получается, что решение рассматриваемой задачи представляется в виде

ft = /io?[A;(a/io/x)-/2, х], (11.181)

где ср - безразмерная функция.

Положим / =/-f X, где х - произвольная константа. При этом условие (11.177) и уравнение (11.179), как нетрудно проверить, записываются через новую переменную f, так же, как и через прежнюю переменную, а условие (11.178) принимает вид:

/1(0, t) = hQ&-; ho = hoe-\ (11.182)

Таким образом, сдвиг во времени влияет лишь на некоторое преобразование величины Ло, и постановка задачи оказывается инвариантной по отношению к группе преобразований переноса по времени; для определения h в переменных х, t, а, х, h получается та же задача, что и для определения h в переменных (П. 180). Стало быть, на основе соотношений (11.181) и (11.182) имеем

/1 = Лоср(д;у, хО = Лср(ЛУ, х/) = = e"/io9 (Afv, r.t - хх); V = (х/аЛо)/• Отсюда следует, что при любом х справедливо тождество

ср(д;у, хО = е"ср(д;уе-/2\ х/ -хх). Положим X = / и получим

ср(д;у, хО = ecp(:ve-/2<, 0) = е"/(a;v е-/2"). (11.183)

Итак, функция h, зависящая от пяти аргументов (11.180), представляется через функцию одного аргумента:

/i = /ioeY(?); $ = a:vехр (-1/2x0. (11.184)

Подставляя (11.184) в основное уравнение (11.179), получаем для функции f($) обыкновенное дифференциальное уравнение

f+M-/-0. (....85,

Подставляя затем выражение (11.184) в (11.177) и (11.178), имеем граничные условия для функции /(;):

/(0)= 1, /(оо) = 0. (11.186)

Вследствие непрерывности напора и потока жидкости функция /(;) по-прежнему должна быть непрерывной и иметь непрерывную