Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [ 66 ] 67 68

ко времени диффузии вдоль пласта и обычно малы (см. гл. IV и гл. V). Если положить s = v = О, то придем к рассмотренной выше задаче крупномасштабного приближения. Пренебрежение малыми параметрами незаконно вблизи скачков внешнего (крупномасштабного) приближения. При малых е и v анализ решения в окрестности скачков сводится к построению (по аналогии с тем, как мы это делали уже не раз) внутреннего решения задачи. При этом новые элементы появляются лишь при рассмотрении тонкой структуры сопряженных (s, с) скачков, чем мы и ограничимся здесь.

Перейдем в уравнениях (V.98) к системе координат, движущейся вместе со скачком, введя «быстрые» переменные

7i= (X - Vt)/B, т = t/г, (V.99)

и будем искать нетривиальное стационарное решение, удовлетворяющее условиям сращивания с внешним решением: s(+co) = s+, с(+оо) = с±. При этом предполагается, что величины V, s±, с± определены при построении глобального внешнего решения (см. гл. V) и, в частности, удовлетворяют условиям на скачке (V.51), (V.52), (V.53).

Для искомого стационарного решения s(7j), б(тз) из (V.98) с учетом условий (V.51) - (V.52) имеем систему

ds/d-q = -Н (с) \В (S, с) Y (S, с) + {с - С-) Z (с)]/С (S, с),

dc/d-ii = Я (с) (с - С-) Z (с),

Z = F-~ ki [s- + (а~ a-)jm {с - с-)]; ki == mVIU, (V. 100)

У ==F - F- - ki{s-sr); H=tVhD; G=P,s/P.c; В = vD/вФР.,.

Системе (V.lOO) на фазовой плоскости (s, с) соответствует уравнение

= G(s,c)(c-c-)Zic)

ds [ic-c-)Z(c)+Bis, c)Yis,c)Y •

Особыми точками этого уравнения являются точки M+(s+, с+) и M-(s-, с-); искомому решению внутренней задачи отвечает траектория, соединяющая эти особые точки. Условия существования внутреннего решения тесно связаны с условиями устойчивости скачка во внешнем решении, хотя и не сводятся к ним. Покажем это на одном примере (остальные случаи допускают аналогичное рассмотрение). Будем рассматривать структуру скачка «полезной» активной примеси, когда в скачке возрастают концентрация примеси и насыщенность. Будем полагать также, что примесь уменьшает межфазное натяжение и капиллярное давление. Тогда в соответствии с построениями рис. 66 имеем для точек M-{s-, сг) и M+(s+, с+)

$. = С-) Fjs-, С-) F(s-, С-)

ds s- + AA/Ac S-+ A~

На плоскости (s, с) линиям F = F {s, с+) и f = f (s, с~) соответствуют горизонтальные прямые с = с±, а прямой М-М+ - кривая F = О, касающаяся прямой с = с~ s точке М-.

Величина Y положительна под кривой М+М-М* и отрицательна над ней. Вдоль М+М-М* имеем из (V.101):

dc/ds = -С (S, с) = -Р. JP, с < 0.

Функция Z{c) обращается в нуль (рис. 67) при с = с+; она положительна для тех с, для которых

[а (с) - а {()] {с - с-)-1 > [а (с+) - а (с-)] (с+ - ()-i. (V. 103)

В дальнейшем будем предполагать, что условие (V.103) выполняется при с+<с<с-. На роль, которую это условие играет при построении тонкой структуры скачка, указал А. Ф. Зазовский. С учетом принятых допущений В < О, и знаменатель в правой части уравнения (V.101) обращается в нуль при Z>0, F > О, т. е. изоклина бесконечности dc/ds - со, лежит вне криволинейного треугольника М+М~М* (см. рис. 66). В этом случае поле направлений в фазовой плоскости уравнения (V.101) принимает вид, показанный на рис. 66, и существует единственная траектория М+М~, соединяющая особые точки М+ и М-. Более детальный анализ показывает, что траектория М+М- является сепаратрисой седла М+, принадлежащей пучку траекторий, входящих в седло-узел М~. Асимптотика решения вблизи особых точек устанавливается при помощи известной техники, причем оказывается, что вблизи точек М+ и М-, соответственно

c - c+=k(s - s+), k>0,

с-(Г---с+ ехр [R/{s - S-)] (s - s-)-2, s < s-,

R = 2G- {F- - (s- -f A-)]/B-F7ss > 0. (V.104)

РИС. 66. к исследованию структуры сопряженного скачка насыщенности и концентрации активной примеси

РИС. 67. К определению знака 1 (с)

Интегрируя уравнения (V.100) и используя асимптотические соотношения (V.104), находим

S -s~~2G~/B~/rF,lsi3, с -с~ -consti3-exp(-Х~1з), со, S - S+ ~ const ехр (-х+)> С - С+- const ехр (-х+ч)»

X* = - S I* - + = - S • (-т

Последние выражения показывают, что ширина переходной зоны (-1/Х±) обратно пропорциональна скорости скачка и тем меньше, чем больше разница между характеристическими скоростями kf второго семейства характеристик и скоростью скачка.

Существенно также, что за скачком изменение концентрации происходит экспоненциальным образом, а насыщенности-степенным, т. е. значительно медленнее. Если попытаться построить внутреннее решение типа равномерно распространяющейся волны при а с = const (так называемый контактный разрыв, когда скорость скачка равна характеристической скорости во всем диапазоне изменения концентрации примеси в скачке), то окажется, что такого решения нет. Построение внутреннего решения в тако.м случае требует более тонких рассуждений. Решение это имеет вид расширяющейся пропорционально / переходной зоны (наподобие тепловой волны).

Заметим, что построение внутреннего решения существенно использует условие (V.103), в силу которого в полосе с+<с< с-нет особых точек уравнения (V.101). По-видимому, это условие следует рассматривать как дополнительное необходимое условие устойчивости скачка.

Неравновесные эффекты в структуре сопряженного скачка. В зздачах вытеснения нефти раствором а1тивной примеси возникает новый важный источник неравновесности - нарушение равновесия в распределении активной примеси между водой, нефтью и пористым скелетом, а также между отдельными компонентами гетерогенной пористой среды. Связанные с этим эффекты проанализируем вновь на простейшей ситуации - задаче вытеснения водорастворимой поле згой примеси в пренебрежении капиллярными эффектами и диффузией в направлении потока.

Имеем задачу

dms JJ dF (s, с) „ д (msc + а) UdcF „ dt дх dt + ~дГ ~

da/dt = x-icp (с, а) <{ (с, а* (с)) = О, (V.106)

S {X, 0) = so, с (X, 0) = Со, S (/, 0) = s", с (t, 0) = с°, а (х, 0) = а* (со).

Отношение времени установления равновесного распределения примеси к времени движения жидкости в пласте играет в последующем рассмотрении роль малого параметра задачи. Внешнее решение задачи остается прежним. Чтобы построить внутреннее решение, перейдем к подвижной системе координат: -q = (х- VtyzV;