Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Рассмотрим решение уравнений (IV. 134) и (IV. 135), отличаю-ш,ееся от описываемого соотношениями (IV. 136)-(IV. 138) малыми возмущениями всех переменных, кроме насыщенности, т. е. положим

И/=И/0 + £и}, /7 =/70+5/7*, /=1, 2. (IV. 139)

Здесь е - малая величина; вектор щ имеет компоненты «/. У/, Wj. Уравнение возмущенного фронта скачка примем в виде lc = Xc-Vt=tx*(y, Z, t). (IV. 140)

Подставляя выражения (IV. 139) в уравнения (IV. 134) и (IV. 135), получим, что в первом приближении по е возмущения (величины, обозначенные звездочкой) удовлетворяют системе уравнений

и] = - (kfi (s.)/ix/) grad /7*, С < О, / = 1, 2 (IV. 141)

Я/ = - (kfi (so)/w) grad /7*, О О, div и* = 0. (IV. 142)

Поскольку искажения фронта малы, условия на скачке можно снести на плоскость С. Тогда с точностью до малых величин порядка е получим условия для возмущений при С = 0:

иГ- «1+ m{Sc - So) дх/dt. (IV. 143)

ur+U2~ = u\+U2=u, (IV.144)

p- - p+ = [ 1,V - 1/To) «0 + IF (2 - f 0 - Fc)] x. (IV. 145)

Кроме того, возмущения должны обращаться в нуль при С

+ со.

Произвольное возмущение фронта скачка может быть разложено в интеграл Фурье по г/ и z. Поэтому для исследования устойчивости достаточно рассмотреть развитие синусоидального возмущения, которое выразим в комплексной форме

х* = Х (t) ехр {ihy + 1Ы. (IV. 146)

Тогда нетрудно показать, что возмущение давления р, удовлетворяющее уравнениям (IV.141) и (IV.142) и стремящееся к нулю при С-> ± со, должно выражаться в виде

р2 = (О ехр (iy + i2Z ± PC). (IV. 147)

где Р = У \ -Ь pi. Возмущения скоростей фильтрации получаются из (IV. 147) и уравнения (IV. 141).

Используя условия (IV. 143)-(IV. 145) и исключая Р+ [t), получим уравнение, описывающее изменение амплитуды произвольного синусоидального возмущения:

dXidt = -NXlm {Sc - So) {ч7Что"). (IV. 148)

Л= (1/<Рс - 1/сро) «о-f IF (2 - Fo - F,). Решение уравнения (IV. 148) при условии X (0) = Хо

Х = Хо ехр [- Ntlm {Sc - So) (1/срс + 1/tpo)]. (IV. 149)

Таким образом, если

= (1/<р, - 1/<ро) ио + 07(2 - Fo - Fc) > О, (IV. 150)

то начальные малые возмущения со временем затухают, в противном же случае возрастают. Поскольку в условие (IV. 150) не входит волновое число р, то оно справедливо для малых начальных возмущений произвольной формы.

Условие устойчивости (IV. 150) получено без учета возмущений насыщенности. Можно показать, что малые возмущения насыщенности распространяются, не затухая и не разрастаясь, и поэтому не меняют вида условия устойчивости.

Величину fe<p(s)/jj.i принято называть подвижностью фильтрующейся двухфазной жидкости, функцию <Р (S) = /i (S) + JJ.0/2 (s) - относительной подвижностью. Условие (IV.150) означает, что при W=Q (бэз влияния силы тяжести) фронт вытеснения устойчив, если подвижность вытесняющей жидкости за фронтом <рс меньше, чем подвижность вытесняемой фазы впереди него. Если W >Q, т. е. плотность вытесняющей жидкости больше, чем вытесняемой, а вытеснение происходит снизу вверх, то действие силы тяжести способствует стабилизации фронта, и наоборот. Условие (IV. 150) было получено впервые И. А. Чарным несколько иным путем.

Отношение подвижностей на скачке М = <fo/<fc зависит от вида кривых относительной проницаемости и отношения вязкостей фаз М = jj,2/jjii = l/jio- С ростом М отношение подвижностей М также растет, но критическое значение М = 1 достигается при М = Мкр, обычно превышающем единицу.

Например, если относительные проницаемости имеют вид:

/,(s) = (S-02/(l -S.)2; /2(S) = (S*-S)2/S*2, jj

(/1=0 при s<s,, /2=0 при s>s),

a So = s,, TO из формулы (IV.45) нетрудно получить

Sc = s, + is- - s.) (iW, + l)-/2; iW* = 2 [1 - (УИ, + l)->/2],

УИ, = Ms*2/(1 -s.)2.

Заметим, что если s =1 -s., то = М. Отношение подвижностей М равно единице при Mi = 3. Таким образом, для квадратичных относительных проницаемостей вытеснение устойчиво при jW] < 3 и неустойчиво при Mi > 3.

Если относительные проницаемости выражаются в виде кубических функций соответствующих насыщенностей, то критическое значение отношения вязкости составляет около 9,8, а если в виде четвертых степеней - то около 18,3.

2. Условие устойчивости (IV. 150) было получено без учета капиллярных сил. Капиллярные силы, обладающие диссипативным действием на распределение насыщенности, способствуют стабилизации фронта вытеснения. Точное исследование их влияния на устойчивость аналитическим путем провести не удается. Здесь

даны результаты асимптотического исследования при принятом выше условии, что длина волны возмущения велика по сравнению с протяженностью переходной (стабилизированной) зоны.

Действие капиллярных сил в таком приближении учитывается в граничных условиях на скачке.

Чтобы избежать громоздких выкладок, рассмотрим течение без учета сил гравитации, описываемое системами уравнений (IV.19) и (IV.20). Второе из этих уравнений запишем в виде

mdsldt + F (s) (я grad s) - amФ (s) = 0. (IV. 152)

Пусть невозмущенное движение направлено вдоль оси х и опк сывается (IV. 136)-(IV. 138).

При этом положим IF = о, откуда <if (s) = F {s). Определим возмущения скоростей и давления формулами (IV. 139). В линейном приближении относительно s возмущения по обе стороны фронта удовлетворяют уравнениям (IV.141) и (IV.142). Чтобы получить для них граничные условия, проинтегрируем уравнения (IV.19) и (IV.152) по X вдоль переходной зоны, считая, что граница раздела слабо искривлена. При этом пренебрегаем членами порядка ширины зоны и квадратами производных по г/ и г. Переходя в полученных выражениях к возмущениям, снова получим условия (IV.144) и (IV.145). Однако вместо (IV.143) из уравнения (IV.152) следует

dxidt - uV/Uo - а2 [(Ф - Фо)1{5с - so)] {dV/dy + dHldz) = О

(Ф, = Ф (Sc), Фо = Ф (So)). (IV. 153)

х и р~ по-прежнему выражаются формулами (IV. 146) и (IV. 147). Условия (IV.144), (IV.145) при IF = О и (IV.153) приводят к следующему уравнению для X {():

dXidt + [V (1 - М*)/(1 + М-) + а2р (Ф, - Фо)1{ - So)] = 0.

(IV. 154)

Из уравнения (IV. 154) следует условие устойчивости

У(1 -М*)/(1 +Л[) + а2р(Ф,-Ф,)/(5, -So) >0. (IV. 155)

Условие (IV.155) совпадает с (IV.150), если отсутствуют капиллярные и гравитационные силы. При jW* > 1, когда без воздействия капиллярных сил фронт скачка неустойчив, они обеспечивают устойчивость возмущений, длина волны которых меньше критического значения х, определяемого, в соответствии с условием (IV. 155), формулой

X, = 27г/Р, = [27га2 (ф, Фс)/у [So - So)] [М + 1 )1(М - 1). (IV. 156)

Вывод условия (IV.155) и формулы (IV.156) был сделан в предположении, что ширина переходной зоны много меньше длины волны возмущения. Согласно результатам, изложенным в § 3 настоящей главы, протяженность стабилизированной переходной зоны Ы, пропорциональна afV. Поэтому предположение > Ы выпол-