Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

причем a = sm<p, Y = sin (р и

В системе декартовых координат х ,у, повернутой на угол \j/ относительно главных осей напряженного состояния

(1.92)

XX <->уу

напряжения могут быть выражены через давление и угол у/ [84]:

ах = Н -(р + Н)(1 -sin<pcos2y/); ауу = Н-(р +Н){1 + sin (pcosli ); (1.93) сгху = (j5 + Н) sin (р sin 1ц/.

При этом предельное условие (1.90) выполняется автоматически.

В плоском случае условие дилатансии (1.78) переходит в следующее:

dех/ +deyy=inv{dвхх-dвхуf +4(rfexyf , (1.94)

где V- угол дилатансии.

Условие коллинеарности тензоров напряжений и скоростей деформаций также должно быть использовано. Оно состоит в том, что в соотношении

Реху Dt

*хх УУ

(1-95)

Dt Dt

используется тот же угол ц/ , что и в соотношении (1.92).

Если ограничиться теперь идеальным случаем, когда можно пренебречь упругими составляющими деформаций, т.е.

Dey Defj l Dt Dt 2

+

CTxy

<Jxx~<y

dy дуу дх ду

ду. д

дх ду

(1.96)

(1.97)

причем полные изменения плотности р можно использовать в

качестве приращения параметра упрочнения Х- Поэтому

разумно добавить уравнение баланса массы (1.7) к уравнениям равновесия (1.10).

Система этих уравнений в плоском случае будет иметь вид

dp dt

ду, дуу дх ду

= 0;

(1.98)

дсгхх , дсгху

+ -

дх ду

(1.99)

д(7у, д(7уу дх ду

(1.100)

где в рамках традиционной механики использовано условие симметрии тензора напряжений: сгху = сгух

Если применить подстановку (1.93), уравнения равновесия принимают вид [200]

(1 - sin cos 2у/) ~ + sin ът1цг +

, \ - {{p + H)sm(p}- (1.101) ду] др

+-cos2 + sm2i -

-2(р + Я)8ш jsin2 + cos2 1 = 0;

I дх ду

sin sin2 - + (1 + sin cos2) - -dx dy

sinly/-- cosHy/

dp] d

dx " dy] dp

[(p + H)sm}+ (1.102)

sin/75- с

dx dy J

где неизвестными являются переменные у/ , р и р. Если эффект упрочнения несуществен, то

{d/dp){{p + H)s,m(p} = 0,

и уравнения равновесия отделяются от кинематических уравнений.

Система первых уравнений оказывается достаточной для решения задач, составляющих "статику сыпучих сред" [118]. Однако в большинстве случаев граничные условия формулируются для смещений. Эффект кинематического упрочнения сам по себе важен собственно для механики дилатирующих геоматериалов.

Сформулируем теперь эффективные уравнения кинематики. Условие дилатансии (1.94) может быть переписано так:

dvx dvy -4--- =smv. dx ду

dvx dvy

\2 /

dvx dvy dy dx

. (1.103)

dx dy)

Введение угла у/ позволяет преобразовать условия коллинеарности (1.97) и дилатансии (1.103) к уравнениям для скоростей смещений:

(cos2-smv)--i-(cos2+smv) =0; (1.104)

smlu/-- + smv-+ sinv--

дх ду дх

dVy

= 0. (1.105)

Эти уравнения линейны, если угол у/ известен из решения уравнений равновесия.