Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Подставив (2.22) в (2.26), найдем

д = (,о{1-а/2). (2.27)

откуда для равномерно распределенного а следует

<д> = 0.281б9о, Dg = О.ЭОбОо- (2-28)

Сопоставляя (2.28) и (2.25), можно убедиться в приемлемой точности приближенного способа отыскания среднего дебита и дисперсии дебита.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА УСРЕДНЕННЫХ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СРЕДАХ

Решение гидродинамической задачи о фильтрационном поле в среде со случайной неоднородностью связано с построением некоторого нелинейного оператора р{х) =A{k{х)) и последующего вычисления его многомерной функции распределения или статистических моментов (здесь р - давление; k{x) -проницаемость среды-функция точки х= (x, Хг, з). Очевидно, структура оператора А над функцией k{x) зависит не только от геометрии области течения, ио и от краевых условий, заданных на границе потока. Это приводит, в частности, к тому, что эффективные параметры - проницаемость, толшина и т. Д. оказываются, вообще говоря, различными для одной и той же области и среды, ио разных краевых условии. Поскольку построение А легко осуществить для одномерных течений, ниже изучаются две задачи: 1-задание детерминированных дебита и давления на одной из галерей; 2- задание детерминированных давлений иа галереях.

I. Рассмотрим стационарное одномерное течение между галереями, расположенными на концах промежутка О < д: < Л Искать решение уравнения

= О, (2.29)

очевидно, следует при условии

р(0) =р,. (2.30)

Нетрудно убедиться, что задание дебита течения

q = k{x)dpidx (2.31)

дает первый интеграл уравнения (2.29). и. следовательно, интегрируя (2.31) при условии (2.30). получим

p(x)-piq\ ft- {X) dx. (2.32)

Усреднив (2.32) по вероятности, запишем

<Р> = Р\ - Я1 <к- {x)>dx. (2.33)

Пусть k (х) - стационарная случайная функция с математическим ожиданием < ft (д:) > = Ао = const н одномерной плотностью распределения / (ft). Тогда k-X) также стационарна н ее математическое ожидание

<Аг- (х)>== 5/(ft) ft-rfA = АГ = const

(2.34)

определяется функцией / (к). Если, например, распределение In ft является нормальным или его модификацией (4.8) из [35], то легко показать, что

ft, = fto/(I + С). = Dk/kl (2.35)

Здесь С - коэффициент вариации проницаемости. Следует отметить, что (2,35) выполняется приближенно при любых /(А), что вытекает из разложения

в случае малых флуктуации из (2.34) и (2.36) следует

fti = fto/(I +С).

(2,37)

Интересно отметить, что </7 (х) > не зависит от корреляционных соотношений, а определяется лишь одноточечными моментами, в частности ftp и С*, что является следствием задания условия (2.31). Заметим также, что распределение </7 (х)> является линейным,

2. Перейдем к изучению распределения давления в задаче 2, Нетрудно Проверить, что решение уравнения (2,29) при условиях /7(0) =/71, р{1)=р2 будет иметь вид

р (X) = /71 - (/71 -/73) IJr- {X) dx I ft-1 (X) dx. (2.38)

Разлагая A- (x) в ряд no степеням флуктуации ft =s= A-fto, получим, удержав квадратичные члены и усреднив по вероятности для безразмерного давления р (ху,

<р{Х)> = (х/1)\1 + С{х. 01, р-{х) =(р(х) -р,)/(рг - р,). (2.39) 1(х. I) {К {х, х) dxdx - f К- (X, х) dxdx.

Ion no

таблица !

2 5 10 100

0.0159 0.1037 0.1354 0,1219 ftOSOO 0,0098

0.0114 0.0743 0.095R а0780 0.0432 0.0008

о о о о

<р*(х)>

е o.s x/i a

Рис. 5. Распределение среднего безразмерного давления < р* (х) > (пунктиром по-к-азано линейное распределение)

Рис 6. Распределение среднего давления < р (х)> при движении жидкости слева направо (а) и справа налеао (б)

<рШ>

1Х/1 а

Используя корреляционную функцию - ехр [-\х - V /а], после Преобразований получим

(2.40)

V = 9 ОМ - I f im) ~ (е-"" - е-<->/- + ).

Результаты подсчетов i*y.-j по формуле (2.40) представлены в табл. I.

Нетрудно видеть, что распределение <р(х)> при любых 1/а, отличных от нуля и бесконечности, имеет йНд кривой (рис. 5).

Любопытно, что средняя безразмерная депрессия при О < x/i < < 0.5 больше, а при 0.5 < j; < 1 меньше, чем х/1, т. е. безразмерной депрессии, соответствующей линейному распределению давления. При не слишком больших, например порядка единицы, это отклонение малосущественно.

Рассмотрим изменение размерного среднего давления для цвух случаев: р]>р2 и Р\<р2- Нетрудно убедиться, что в соответствии с (2.39) и табл. I кривые <р{х)> имеют вид, соответствующий рис. 6, я, б, где пунктиром нанесено линейное распределение, а стрелкой указано направление движения. Как видно из рисунка, на половине течения, примыкающей к входной галерее, среднее давление меньше, чем в линейном случае. У выходной галереи давление, наоборот, больще, чем линейное. и этот несколько неожиданный эффект своеобразной анизотропии, связанный с направлением потока,- следствие нелинейности оператора (2.38).