Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 [ 68 ] 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Иначе обстоит дело при рассмотрении макроуровня. В этой случае можно в принципе найти все характеристики поля скоростей в средах со случайными неоднородностями, можно рассмотреть дисперсию в поле случайных скоростей и получить усредненные уравнения макропроцесса [36]. Именно этому аспекту процесса фильтрационной дисперсии и будет посвящено дальнейшее изложение. Что же касается дисперсии на микроуровне, теоретические основы ее анализа, начинавшиеся работами А. Шейдег-гера. В. Николаевского, П. Сафмана. в достаточной степнн отражены в работах [23. 24, 27. 47. 49]. где приведены основные уравнения, дан анализ экспериментов и некоторых задач.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ ДИСПЕРСИИ

Перейдем к рассмотрению рассеяния примеси потоком, поле скоростей которого в достаточной мере нерегулярно. Естественно, что количественное описание этого явления по вполне понятным причинам не может дать траекторию движения каждой индивидуальной частицы примеси, в лучшем случае можно надеяться описать усредненное «поведение» многих частиц, т. е. поля средней концентрации. Таким образом, далее под задачей описания процесса фильтрационной дисперсии будет пониматься нахождение зависимостей между полем средней концентрации и статистическими характеристиками поля скоростей. Эти связи могут иметь вид дифференциальных илн ннтегродифференциальных уравнений, коэффициенты или ядра которых определяются моментиыми функциями поля скорости.

Подобный подход получил широкое развитие прн изучении дисперсионных явлений в самых различных областях, например турбулентной диффузии, распространения электромагнитных волн в флуктуирующих средах и т. д. Состояние этих исследований подробно-освещено в работах [13, 21. 31).

Пусть в некоторый момент времени /о в пространстве зафиксировано распределение примеси и Coix, to) - плотность этого распределения (Концентрация). Будем считать функцию с© (х,о) заданной и неслучайной.

Перенос жидких частиц полем скорости v приведет к изменению начального распределения, и в момент времени t оно перейдет

в с{х, /). Специфика рассматриваемых фильтрационных процессов-связана с тем, что нерегулярность поля скорости порождена неоднородностью Среды и, следовательно, не зависит от времени. Таким

образом, vvix), и в рамках принятой модели поле скорости является векторной случайной функцией координат. Поэтому поле

с{х, t) можно представить в виде

с{х. (.)=Ф1и{х). t\Co{x, Го), t-*

где Ф \v(x). t] - некоторый оператор, очевидно случайный, так как

определен над случайным полем v{x).

Поскольку примесь динамически нейтральна и ее перенос не

влияет на поле v, оператор Ф[у(лг), t] линеен.

Осрелнив (9-1) по ансамблю реализаций, получим

и(х, t)= <с{, t)> = <Ф [v(b. П > Со (Я О. (9-2)

и, следовательно, осредиенная концентрация Щх, /) удовлетюряет некоторому линейному уравнению, для конкретизации которого

следует построить линейный оператор < Фf (лг), >

Пусть в момент времени /о вся примесь, а ее общее количество

Примем за единицу, сосредоточена в точке X = х, т. е. Cq(X, t(,) =

= Ь(Х - дг). Поскольку молекулярная диффузия игнорируется, примесь будет в любой момент времени сосредоточена в одной точке,

которая в момент находилась в х, а далее транспортировалась полем скоростей. Следовательно

с(Х, t) = b[X-X{x, /о, t)l (9-3)

Усреднив обе части (9.3), получим

и(Х.()= < ЫХ~Х (Я /о,/)]>- (9-4)

Нетрудно понять, что правая часть (9.4) есть плотность вероятности события, заключающегося в том, что «жидкая» частица,

находившаяся в момент времени /о в точке пространства х, в момент

времени / окажется в точке X. Обозначив эту плотность

f(x, и X. и)= <Ь\Х-Х (х. /о t] > (9.5)

и сравнив (9.2), (9.4) и (9.5), получим

<Ф[v(x).f]>Ь{X-x) = fX, f. х. д. (9.6)

т. е. < Ф > - интегральный оператор с ядром /

<Ф> = J/(, t. "х, tn)dx. (9.7)

Поэтому при произвольном начальном распределении

и[Х. 0= J/(:. /, х. to)c„(x, Qdx (9-8)

и, следовательно, для определения осредиенной концентрации и (х,/) нужно решить фундаментальную задачу - найти плотность Z, которую можно истолковать как среднее поле концентрации мгновенного точечного источника единичной продуктивности, рассеянного полем 210

случайной скорости v (х). Такая трактовка плотности / позволяет записать формальное выражение для среднего поля концентрации примеси. Продуцируемой распределенными в пространстве источниками. Если <9{х, t)-заданная плотность неслучайного распределения поступления примеси, то поле средней концентрации при произвольном начальном распределении Co(jc, Q имеет вид

u{x,t)=[f (,X /. "х, /о) с„ {X, /о) dx +

Ч-ИМ-. . )f(x,x)dxdz. (9.9)

<

Таким образом, для полного решения общей задачи - определения поля средней концентрации « (х,/) следует определить функцию /, которую естественно назвать функцией Грина задачи переноса в поле случайной скорости.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим движение индивидуальных частиц, переносимых фильтрационным потоком. Пусть положение частицы в пространстве определяется некоторым вектором X, который по мере перемещения частицы изменяется и, следовательно, является вектор-функцией времени. Чтобы отличить данную частицу от ей подобных, введем дополнительную независимую переменную - вектор

X, который в дальнейшем отождествим с в момент времени /о-

Такнм образом, векторное поле Х=Х{х, i) определяет семейство траекторий частиц, положение которых в момент времени /о задавалось векторным полем х=Х{х, /о)- Подобное задание потока жидкости носит название лагранжевого описания. В отличие от эйлерового описания, для которого независимыми переменными являются координаты фиксированных точек пространства и время и. следовательно, течение изучается с точки зрения неподвижного наблюдателя, лагранжево описание естественно трактовать как изучение потока наблюдателем, движущимся вместе с жидкостью. Независимыми переменными в этом случае являются лаг-

раижева переменная х и время t. Полное лагранжево описание заключается в том, что характеристики потока (динамические, кинематические) выражены через новые переменные. В новых переменных формул и рукугся основные законы сохранения и динамические соотношения.

Формально процедура перехода от эйлерова к лагранжевому описанию сводится к замене независимых переменных в основных уравнениях. Определим лагранжеву скорость перемещения частицы из очевидного соотношения

У(х, t)=dX{x, t)/dt (9-10)