Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [ 83 ] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

(8Х= - 8),р-!-

(10.126)

Рис 70. Зависимость отношения D продольной и поперечной компонент тензора лнсперсни от параметров X и р лля плоского течения

где С=о/оо. Ху/Мо/глоС, а пространственный масштаб неоднородности а связан с временем корреляции формулой а = е It/то.

Нетрудно убедиться, что при любых значениях коэффициента корреляции р. коэффициента вариации проницаемости и параметра Я - отношения коэффициентов вариации пористости и проницаемости коэффициенты продольной и поперечной дисперсии для трехмерных и двумерных полей положительны. Поэтому корректно задание для уравнений (10.125) и (10.126) начальных распределений и = и{х, 0) и соответствующих условий на границах при / = 0. Можно видеть, что флуктуации пористости влияют только на коэффициент продольной дисперсии, а флуктуации проницаемости - на коэффициенты продольной и поперечной дисперсии. Отрицательная корреляция пористости и проницаемости усиливает продольную дисперсию, а положительная ослабляет тем сильнее, чем больше р.

Если считать фиксированным, то для каждого р>0 существует для которого коэффициент продольной дисперсии минимален. Так, в случае плоского течения Л.* = р/2, для пространственного течения Л.* = 2р/3. На рис. 70 приведена зависимость отношения продольной и поперечной компонент тензора дисперсии от параметров Л. и р для плоского течения. Можно видеть, что «внесение» в пористую среду достаточно малых возмущений пористости приводит прн р>0 к уменьшению 0, т. е. продольной компоненты, которая в интервале 0<Л.<Л.* может существенно отличаться от иевозмущенной по X продольной компоненты. Так, прн р=1 и Л.= "/2 величина 6=1, т. е. тензор дисперсии изотропен, в то время как при Л.=0 дисперсия существенно анизотропна, так как 0 = 3. В определенной степени парадоксально, во взаимодействие потока с полями пористости и проницаемости в случае р= 1, Я="/2 приводит к изотропному рассеянию примеси. Например, круглое пятно «меченой» жидкости, помещенное в такой поток, будет двигаться по потоку, расширяясь, но не меняя формы.

В случае пространственной фильтраиии минимальное значение 0, реализуемое при р=1, Я=/з, составляет */з. Это означает, что дисперсия при фильтрации в трехмерном пространстве анизотропна при любых соотношениях определяющих параметров. Шар меченой жидкости, двигаясь по потоку, деформируется в эллип-

соид вращения. Однако при минимальном 0 степень его вытяну-тости невелика-V(/3=al,l5. Для сравнения уместно подчеркнуть, что при иевозмуЩенном по пористости течения {Л. = 0) величина 0 = 8, вытянутость упомянутого эллипсоида составляет У8 2.8, т. е. анизотропия весьма существенна.

При рассмотрении одномерных течений отмечалась возможность ситуации, при которой выбор функций v(i) и т(х) таков, что хотя обе они флуктуируют, лнсперсия отсутствует. Легко видеть, что в многомерном случае дисперсию можно аннулировать только при отсутствии флуктуации пористости и проницаемости. Однако из рассмотренных примеров видно, что при определенных комбинациях этих полей дисперсионные эффекты можно существенно снизить.

Отмеченные эффекты имеют следующее качественное объяснение. Так, например, независимость поперечных компонент тензора дисперсии от флуктуации пористости объясняется независимостью поля скоростей фильтрации от пористости и некоррелированностью поперечных пульсаций скорости с проницаемостью, а следовательно и с пористостью. Напротив, корреляция продольных пульсаций скорости фильтрации с проницаемостью определяет зависимость продольной компоненты тензора дисперсии от флуктуации пористости при р=0. При этом Существенно, что интенсивность переноса и дисперсии примеси положительно коррелирует с модулем скорости фильтрации и отрицательно - с пористостью. Поэтому при положительной корреляции пористости н проницаемости наблюдается эффект уменьшения анизотропии дисперсии. Возможность в плоском течении полной изотропии дисперсии определяется относительно меньшей по сравнению с пространственным течением анизотропией невозмущенного по пористости тензора дисперсии (при =0, 0=3). в то время как в трехмерном пространстве 0 = 8 при = 0. Кроме того, коэффициент корреляции модуля скорости и проницаемости на плоскости меньше, чем в пространстве.

Заметим в заключение, что как и в случае течения в среде флуктуирующей пористостью, процедуру локализации исходного уравнения (10.П4) можно провести аккуратнее, т. е. лишь после дифференцирования интегралов по параметру f. Можно показать, что при таком порядке локализации из {10.П4) получается дифференциальное уравнение гиперболического типа

,v+mir no)~- +

ди , ди

д! дх, /Пд

+ ,в"-л/1г/то)й + в2й+в"

дх, дх1 д4

Как и в случае уравнения (10.104), для него можно поставить корректно задачу с данными иа характеристиках - задачу Гурса.

Легко убедиться, что регуляризация последнего уравнения при помоши .чевозм у шейного уравнения приводит к параболическому уравнению, тождественному (10.125) или (10.126), в зависимости от того, какова размерность рассматриваемого течения.

Перенос примеси в неоднородных средах с учетом адсорбционных явлений

Как известно, фильтрационный перенос примеси в той или иной степени сопровождается взаимодействием частиц примеси с твердой поверхностью пористой среды. Это взаимодействие может иметь различную физическую и химическую природу в зависимости от свойств примеси и характера поверхности и жидкости. При олределениых условиях адсорбция, т. е. поглощение или выделение частиц примеси твердой фазой, может считаться равновесной и линейной. В этом случае уравнения фильтрационного переноса с учетом адсорбционного обмена имеют вид

«, + 17 + -? =0, (10.127)

а = Г(х)с. (10.128)

Здесь а{х, I) - адсорбция примеси, т.е. ее количество в твердой фазе, заключеннсж в единице объема; Г (х) - коэффициент Генри, связывающий адсорбцию с равновесысж ей концентрацией. Далее мы будем полагать, что коэффициент Генрн, зависящий от структуры поверхности твердой фазы, также является случайным полем, зависящим от координат и коррелирующим с полями пористости и проницаемости. Подставив (10.128) в (10.127), получим

т, + vvc =0. = m + Г, (10.129)

т. е. формально учет равновесной линейной сорбции не меняет вида уравнения переноса, а только трансформирует коэффициент при производной по времени. Поэтому остаются в силе усредненные уравнения многомерного переноса (10.125) и (10.126), в которых необходимо сделать следующие замены параметров:

mo->mt Мо- <тТ>. рр., (10.130)

т° = пи, + Го. Го=<Г>, у=<Г2>, <т7> = Мо + у2 4- 2у УАй? (т. Г), Р. = <тИ>-"*1/"М(а, т)+vp (а. Г)]. (10.131)

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ДИСПЕРСИИ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПОТОКА В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Ранее мы рассмотрели ряд задач, в которых стохастическое уравнение переноса являлось объектом усреднения с целью получения уравнения для средней концентрации или насыщенности. Возникающую При этом проблему замыкания и локализации удается 256