Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ СЕТОК

Как известно, систему дифференциальных уравнений переноса при ломощи конечно-разностной аппроксимации можно модифицировать в систему алгебраических уравнений, которая, в свою очередь, может интерпретироваться как модель переноса в дискретно-континуальной сеточной системе [27]. Если исходная система имеет переменные коэффициенты, то и проводимость сетки также будет переменной, и, следовательно, можно поставить задачу определения эффективной проводимости сетки.

По принятой традиции дальнейшее изложение будет проводиться в терминах электрического поля и следовать с небольшими Отклонениями обзору Киркпатрика [32].

Итак, пусть в пространстве размерности п размещена система узлов, в каждом из которых сходятся т звеньев - связей, проводимость звена, соединяющего узлы i и / суть bij- Если иц- разность потенциалов поля между i и / узлами, то для каждого узла / можно написать уравнение сохранения тока

S = О, q,i = fti/M.y. (6.228)

Введя средние силы тока и поля (разность потенциалов между соседними узлами)

Qil=<Qii>, yii=<uii>, (6.229)

определим эффективную проводимость сетки bii по следующим уравнениям

Qii=biiUii, (?,-,-0. (6.230)

Как и для континуальных задач, фундаментальное значение для нахождения приближенных значений Ь* имеет задача о поле внутри звена-связи, помещенного в однородную по проводимости бесконечную сетку, при условии, что поле вдали от связи-включения равно и.

Пусть звено - включение АВ имеет проводимость Ьц, остальные звенья сетки - Ь, поле и направлено вдоль звена-включен и я (рис. 41). Если бы все проводимости в сетке были одинаковы, т. е. b = bo, то поле Мо на АВ равнялось бы и. Неравенство проводимостей изменяет поле. Для сохранения силы тока в узлах Л и В следует задать силу некоторого фиктивного тока да, втекающего в сетку и вытекающего из нее,

<7о = [/(& -fto). (6.231)

Этот ток, входя в систему в точке Л, частично идет по звену АВ, частично проходит по сетке, из которой звено АВ исключено

Рис. 41. Фрагмент бес11онечно15 сетян сопротивлений, содержащий включение-АВ

Рис. 42. Схема сопротивлений, эквивалентная бесконечной сетке с включением

В точке В ток силой qo выводится из системы. Очевидно, ток силой qo создает на АВ дополнительное поле и

и = qa{bo+ Ьдв]~\ (6.232)

Где Ьав - проводимость всей сетки с исключенным звеном ДВ. Подставив (6.231) в (6.232), получим

и = и (b - bo) ibo + ЬавК- (6.233)

Следовательно, для определения напряженности дополнительного поля и остается выразить Ьав через известные параметры задачи.

Киркпатрик [32] приводит остроумный способ определения данной проводимости. Для этого вновь рассматривается та же сетка, но на этот раз все звенья ее одинаковы и имеют проводимость Ь. В узел А вводится некоторый ток силой , а в точке В он выводится (рис. 42). Принцип суперпозиции позволяет рассматриваемое поле считать суммой следующих двух полей; 1) ток силой q вводится в точке А, а выводится на бесконечности; 2) ток силой q выводится в точке S, а вводится на бесконечности. И в том и другом случае вследствие симметрии сила тока, протекающего в каждом нз т звеньев, сходящихся в А или В, равна q/m, и потому суммарная сила тока через звено АВ равна 2q/m. Отсюда легко подсчитать Uab - разность потенциалов между узлами А » В

UAB = 2q/mb. (6.234)

С другой стороны

Uab = q/bAB. (6.235)

где Ьав - Проводимость всей однородной системы.

Очевидно, что ЬавЬ + Ьав и, следовательно, исключив q и Uab из (6 234) и (6.235), получим

fta = ft(f-l).

(6.236) 159

Подставив (6.236) в (6.233), найдем искомое соотношение, свя-зываюшее дополнительное поле и н поле на бесконечности и

и = (6.237)

Поскольку в случае пространственной кубической сетки т = 6 для плоской квадратной решетки m = 4, для одномерной цепи m = 2,

Число " = - 1 в этих случаях равно соответственно 2, 1 и О- Подсчитав поле на включении ил = и + и, получим

"- = "т!т (6-238)

Отметим, что формула (6.238) совпадает с формулой (6,95), если считать, что х=п--1. Отсюда следует вывод, что поле в звене сетки совпадает с полем во включении, помешенном в неограниченную Среду, если в трехмерном пространстве включение- шар, в двумерном - круг, в одномерном - плоский слой, перпендикулярный полю. Располагая (6.238) - решением задачи о поле в единичном включении - звене сетки, можно перейти к задаче вычисления эффективной проводимости сетки. Так, в приближении малой кониентрацин звеньев-включений Р, проводя рассуждения и выкладки целиком аналогичные проделанным в третьем разделе данной главы, получим формулу для эффективной проводимости сетки

Очевидно, что при к = 2 (трехмерная кубическая сетка) результат совпадает с формулой (6.104) для сферических включений, при и=1 наблюдается совпадение с формулой (6.105), соответствующей круговым включениям на плоскости. Прн х = 0 получается формула, соответствующая линейному по кониеитра-ции р разложению в ряд точного решения для одномерного случая.

Совершенно аналогично, как и в шестом разделе данной гла-!ш, находятся самосогласованные значения эффективной проводимости сетки. По вполне очевидным причинам при и = 2 получим формулу (6.160), а при к=1 -формулу (6.163), При х=0 метод самосогласования даст точный результат.

Вычисление эффективных параметров анизотропных сеток связано с затруднениями, поскольку неизвестно решение фундаментальной задачи о поле в одиночном включении, расположенном в неограниченной анизотропной и однородной сетке.