Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

скоростью а, что позволяет устранить в уравнениях конвективные члены. Затем линейным преобразованием координат достигается изотропность членов со второй производной и выписывается стандартное решение уравнения типа теплопроводности. Поскольку уравнения Колмогорова являются сопряженными уравнениями с разнонаправленными временными осями, их решения эквивалентны.

Теперь можно вычислить и поле средней концентрации и{х, I). Для этого достаточно подставить выражение для плотности / (9.49) в равенства (9.8) или (9.9). Пользоваться полученным решением нужно с известной осторожностью. Тан, если в поле отсутствуют источники и изучается эволюция начального распределения

С(,{х, to), решение (9.8) с плотностью (9.49) можно использовать при условии (9.44). При наличии источников, продуктивность которых зависит от времени, ограничения должны быть более сложными. Помимо (9.44) следует учесть то обстоятельство, что эффект действия источников иа интервале времени, предшествующем моменту t и имеющем длину нескольких лагранжевых масштабов Т, марковская модель передает искаженно. Если источники дискретны, определенные ограничения должны быть связаны не только с временами, но и расстояниями от точек, где определяются решения, до источников. Хотя общие критерии в этом случае дать затруднительно, можно полагать, что погрешность определения и(л, t) будет мала, если (-tt}>T и при интегрировании по времени в формуле (9.9) вклад в интеграл интервала (-(3>7" будет мал по сравнению со всем интегралом.

Вернемся, однако, к рассмотрению плотности /, представленной в виде (9.49). Нетрудно узнать в ней функцию Грина уравнения

(9.41), в котором коэффициент - вектор а и тензор bij постоянны. Другими словами, это поле средней концентрации мгновенного точечного источника единичной продуктивности, рассеянного полем случайной скорости.

С)бративщнсь к формуле (9.9), легко проверить, что средняя концентраций U (X, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению

+ avu{X. 0-i S ft.- = f (X. i). (9.50)

При этом функция U (X, t) удовлетворяет дополнительному условию

ы(Х, 0<=,. = еИХ). (9.51)

Поскольку функции со(Х) и f(X, i) произвольные, уравнение (9..50j - это дифференциальное уравнение для средней концентрации примеси, переносимой потоком, которому могут быть поставлены

в ссютветствие вектор а и тензор h„. Естественно, область приме нимости уравнения (9.50) связана о приведенными ограничениями. Для завершения описания марковской модели переноса укажем связь

вектора ai и тензора Ьц о характеристиками случайного поля скорости vir), вытекающими из формул (9.39), (9.40), (9.20), (9-30)

а= <v>. (9.52)

ft„= 2В„(0) W. (9.53)

Здесь Ви - компоненты корреляционного тензора поля скорости; Т - лагранжев масштаб времени.

Тензор Bi/ вычислен в главе 5, а для оценки Т принимается зависимость

Г =im/<li >. (9.54)

Пусть средняя скорость <v> направлена вдоль оси Xi. Тогда, подставив (9.54) в (9,53) и использовав результаты вычисления Вц (0) (см. главу 5), найдем тензор bi, для трехмерной фильтрации

- /8 О 0\

\о о и

Аналогично для двумерной фильтрации

. c=J<?>l/3 0\

ш Vo 1

(9.55)

(9.56)

Завершая на этом изложение марковской модели фильтрационной днсперсни, уместно проследить, в чем заключена ее близость и соответственно отличие от более ранней модели фильтрационной дисперсии на мнкроуровне, получившей в литературе наименование «конвективной диффузии» [23, 24].

Как уже подчеркивалось, в этой теории рассматривается дисперсионный механизм, порожденный нерегулярностью поля скоростей внутри пор, описать которое можно лишь привлекая уравнения Навье - Стокса и учитывая чрезвычайно сложную геометрию межпорового пространства, что практически немыслимо. Поэтому, рассматривая такие поля считают их случайными и являющимися результатом преобразования регулярного поля средней скорости при помощи некоторого случайного локального тензора. Принятие гипотезы об аналогии дисперсии в порах с броуновским движением, что эквивалентно предположению о том, что процесс переноса частиц - марковский, позволяет выписать соответствующее диффузионное уравнение с конвективным членом и связать его коэффициенты с моментными функциями блуждающих частиц, которые в свою очередь выражаются через компоненты локального тензора. Результатом такого рассмотрения являются уравнения конвективной диффузии, установление тензорного характера коэффициентов диффузии, зависящих от средней скорости и дисперсии компонент локального тензора. Поскольку 222

вторые моменты локального тензора можно вычислить лишь на основании информации о пульсациях скорости внутри пор, а она отсутствует, для определения коэффициентов диффузии используются результаты экспериментов по дисперсии. Таким образом, для замкнутого описания дисперсии на мнкроуровне необходима эмпирическая информация о протекании самого процесса дисперсии - «конвективной диффузии». Как видно из предыдущего изложения, теория марковской дисперсии на макроуровне использует вычисляемые при помоиш статистического анализа фильтрационные характеристики поля скоростей однородной жидкости в неоднородной пористой среде.

ГЛАВА 10

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИИ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПЕРЕНОСА

В СРЕДАХ СО СЛУЧАЙНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

Предшествующий анализ фильтрационной дисперсии до некоторой степени не учитывал того важного обстоятельства, что дисперсии подвержены макроскопические поля истинной концентрации примеси, флуктуирующие из-за нерегулярности поля скорости переноса. Это означает, что можно выписать динамические уравнения относительно истинной концентрации и фильтрационных характеристик - скорости фильтрации, давления и поставить задачу об осреднении всей замкнутой системы уравнений. Результатом этого будет установление связи между эффективными характеристиками фильтрационного переноса и полем средней концентрации. При этом становятся излишними предположения о возможности использования марковских моделей и т. п. Основная трудность такого способа анализа дисперсии связана с реализацией усреднения полной системы уравнений фильтрационного переноса.

Рассматривая перенос нейтральной примеси, процесс осреднения полной системы удается расщепить и собственно перенос можно изучать, считая поле случайных скоростей известным. Анализ одномерных задач в средах с постоянной неслучайной пористостью приводит в рамках второго порядка теории возмуще1гий к иитегро-дифференциальному уравнению для средней концентрации.

Учет флуктуации пористости при изучении переноса полем случайной скорости фильтрации приводит к несколько более сложным моделям и вносит некоторые качественные отличия в механизм переноса.

Следует отметить, что усреднение уравнений переноса при определенных предположениях можно осуществить в рамках функционального описания. Последние результаты в этой области приведены в работе [13]. Частично они отражены в данной главе.