Главная Переработка нефти и газа где индекс г означает, что в фигурных скобках аргументами являются т и г = л:-B/jj-- т)/(") Подставив (10.178) в (10.176) и предположив локальную статистическую однородность полей Bf н у, получим m + Bf V/ («) = J J S - ) »р d; (ц) dx + Hf vr («) i i ехр [-Hf V/ («) (2 - x-ei]B"(z, т, с. 6) --rfTde. (10.179) где В - корреляиноиный тензор поля v\ п- размерность пространства; С = л-Bf/jj-/ («)(/ -6); 9(ж, т) =/Л«(. 01expI-V/(") С -t)]-Для вычисления тензора В" используем (10.171) и (10.1701. 11ля главной части v, р получим систему V= -К {u){k4P + ko4p+К («)K-(«)oavPl. dfvy = 0. (10.180) в которую следует включить также уравнение (10.178). Введем в рассмотрение не возмущенные по о поля давления р-и скоростей V, определяемые уравнением Тогда v- = ~K(u) (ArvP + A-oVp-). divw-= 0. (10-181) V {p - P-) = -К (и) /С- (а) div (оvP), (10.182) р -p. = «(«) K-i (ы) JOdiv, (ovP)d«.„ (10.183) где G - функция Грина уравнения Лапласа в неограниченном пространстве; du) - элемент объема пространства. Подставляя (10.183) в (10.180) и вводя эффективную проницаемость невозмущенного по в течения k* при помощи соотношения W = -A*K(«)vP, получим для v интегро-дифференинальное уравнение ttf yexpl-llfvr(«)(f -r)Jdiv \vf (u)\dx + + f vG div, I И? J exp l-W v/ (h) (t-x)] div, [у7 x X dt]d<o,j. (10.184) Его решение в виде ряда по параметру X = koK {u)/mk*K (а) в линейном приближении записывается следуюшим образом: р=и:+Х ji I ехр\ - WS7f {и) (/ - -с)] diwlV-f{u)]dx + + J vG div, W fexpl-Bvw) (/ -x)Jdivz[VV(«)]rfIrf»i- (10,185) Отсюда для линейного по X приближения корреляционного тензора В получим Bi = в: + Х{117,ехр [-Vvr С) (/-T)Bi dx + о "1 + W,expl-W4nu)(l-x)]BdT + + jdiv, Jexp-vr(/-t)]Bidx dwi 4- -h jdiv, iJexpl-ivr («)(-))S-dT du>i (10.186) Таким образом, в рамках нетривиального приближения метода возмушений по параметрам s и X средняя насышенность удовлетворяет нелокальному функциональному уравнению (10.179), параметры которого можно выразить через параметры невозмушенной задачи и моменты заданного случайного поля k. Вычисление компонент тензора В- прн х = 6 и п = 2,3 для неограниченной области проведено в главе 5. Для уравнения (10.179) можно поставить задачу Коши с условиями, определенными для функции е. Очевидно, учет поправки порядка X в корреляционном тензоре (10.186) имеет смысл лишь в том случае, когда he. В противном случае вклад этой поправки сопоставим с членами более высокого порядка по е. игнорируемыми в рассматриваемом приближении. Естественно ожидать, что в случае мелкомасштабной по пространству неоднородности пористой среды уравнение для средней иасышенности можно локализовать. Пусть, например, временнбй масштаб Д = Sm [ В]/(«)]-<§: / (здесь 5 - пространственный масштаб неоднородности) и тензор В, локализован следуюшим образом в. = В"ДЗ (т - 6), в, = В*(т 6). Тогда из (10.186) следует, что в общем случае с точностью до малых порядка Д тензор В остается нелокальным, ие локализуется и уравнение (10.179). Однако в некоторых частных, но достаточно интересных случаях уравнение (10.179) можно локали-Бовать. Рассмотрим эти случаи. I. Фильтрация взаиморастворимых жидкостей. В этом случае f(u} = u, к (u) = -Чи}, где р.- вязкость смеси. Очевидно, если 1*(н)= const, поле скоростей не зависит от насыщенности (одностороннее взаимодействие) и из (10.179) и (10.186) следует т. е. флуктуации поля скоростей иа неоднородностях пористой среды приводят к дисперсии насыщенности. При i(u)vconst имеет место двустороннее взаимодействие н из (10.179) вытекает уравнение Если при рассмотрении интегралов по пространству в (10.186) пренебречь вкладом неизотропной части div \ V-f («)]. входящих в них, то из (10.186) следует В« = в-- + J iW,Bi + W,Bi) - dt. (10.189) Если тензор локализован на масштабе Д + i l"* + ВЩ,!.. ,10,190, Однако взаимодействие полей в этом случае не настолько сильно, чтобы не допустить локализации. Последняя достигается при помоши повышения порядка дифференциального уравнения. Действительно, подынтегральная функция в (10.190) зависит от i, поскольку от t зависит вектор г. Поэтому дифференцирование по t с точностью до множителя совпадает с дифференцированием по Хц. Это позволяет исключить из (10.179) интеграл и получить уравнение \n--Wti]\mj,+ W4- - B. и = пС, цщ. С," = 7"° In iwM + WiB-l (10.191) При Этом относительная простота уравнения (10.191) объясняется тем, что для вязкости использована формула Кендалла 2т 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 |
||