Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94

In [1 = u In [Jti + (1 - m) In [iB,

где Hi, Ц2 - вязкости компонентов смесн.

Уравнение (10.191) имеет второй порядок по / и третий по х. Для постановки задачи Коши для него следует из (10.190) найти du/dt, положив / = 0.

2. Фильтрация несмешивающихся жидкостей. В этом случае

к, (U) Аг, (и) к, (и)

ад = ~Г + 1. М«) = к-ч«).

где А,, 2 - относительные фазовые проницаемости.

Локализация в общем случае невозможна. Однако при р,/цг -1 функция К{и) мало зависит от и (почти одностороннее взаимодействие). Если, кроме того, в некотором интервале насыщениостей можно пренебречь кривизной /(w), то нз (10.179) следует

„*+V, = g4. (10.,92,

Нетрудно убедиться, что основное уравнение (10.179), как и исходная система (10.17()), инвариантно к обращению поля скоростей

и времени (W, t)(~-W, -t). Варианты этого уравнения, локализованные полностью или частично, такими свойствами не обладают.

УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИИ ПЕРЕНОСА НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ. УЧЕТ КАПИЛЛЯРНЫХ СИЛ

Как известно, традиционная теория фильтрации несмешивающихся жидкостей Маскета - Леверетта [44] содержит в своей основе гипотезу о том, что в процессе движения распределение жидких фаз в малом элементе пористой среды, считающемся с позиций механики сплошной среды «точкой», равновесно. Точнее говоря, предполагается, что время установления локального равновесия значительно меньше характерного времени, определяемого существенными изменениями параметров описываемого макропроцесса. Прн этом задание насыщенности и некоторых достаточно устойчивых распределений линейных размеров пустотного пространства позволяет описать распределение фаз в элементе. Очевидно, для того чтобы гипотеза была приемлемой, необходимо некоторое сочетание условий: малость элемента, достаточная интенсивность процесса установления равновесия, обычно лимитируемого капиллярными и гравитационными силами, малая скорость внешнего макроскопического процесса, например малая скорость вытеснения. Естественно, что любое существенное отклонение от этих условий приводит к тем или иным противоречиям и требует специального рассмотрения. В этой связи уместно отметить появление в послед-

нее время работ, содержащих попытки построения теорнн фильтрации, учитывающей эффекты неравновесности, например [2].

Наш дальнейший анализ будет основан на гипотезе о равновесном распределении фаз в достаточно малом объеме и поисках следствий, вытекающих из рассмотрения усредненных уравнений. В этом случае «малый» элемент для усредненных уравнений будет содержать много разных элементов первого уровня, иметь свою внутреннюю макроскопическую структуру и описывающие ее параметры. Естественно, что для элемента второго порядка, много большего, чем первый, гипотеза о равновесном распределении фаз может быть неприемлемой. В какой степени это существенно, должен дать ответ анализ усредненных уравнений.

Итак, рассмотрим фильтрацию двух несжимаемых и иесмешивающихся жидкостей в неоднородной пористой среде. Пусть о-насыщенность одной из фаз, для определенности первой у,-, pi, р./ - скорость фильтрации, давление и вязкость i-fi фазы соответственно, fi(o)-функции относительных фазовых проницаемостей. /(о) - функция Леверетта, а - межфазное натяжение. Полная система уравнений Маскета-Леверетта без учета гравитации имеет вид

д" , " п дя , -

ттг+ VV, = 0, ~т + vfs = О,

Vi= -

, p2~Pt = iY Jic). (10.193)

Введя в рассмотрение суммарную скорость фильтрации

у = у, + Уг. систему (10.193) представим в форме

/У(.)])=0.

div у = 0.

(10.194)

(10.195)

и =--К (о) VPi--V

(1, V pj

Здесь

[г = Ц/(1г.

Выбрав масштабы суммарной скорости Vq, длины L, проницаемости Ьп и пористости то, введя новые независимые переменные

iiXilL. x = tVo/Lmo (10.196)

и новые искомые и заданные функции

р = p[fio/LVo!4, V = v/Vo. k к/ко, т т/то,

(10197)

обезразмерив систему (10.195), получим

-до ,

f (б) К+ p-pikfiFv divV = 0

/(о)

= 0,

(10.198)

/(в)

где параметр pi имеет вид

р, =aK*j;mo/((j.V()Z.). (10.199)

Как показывают подсчеты, для довольно широкого диапазона реальных условий параметр pi может считаться малым. Будем считать поля ft (Г) и m (г) стохастически однородными н их средние значения выберем в качестве масштабов mo = <m>, &o = <ft>. Представим поля ft и m в виде

ft = 1 + pzft. m = 1 + ргт, (10.200)

где параметр ра считается малым, а для функций ft н т выполняется условие <ft> = <т> = О, и будем искать решение системы (10.198) в виде ряда по степеням параметров pi и рг.

о = н + pia + р2в" +...; p = P + hp + hp + •.

? = Г+ р, Г + p?r +... (10.201) Аналогично представляются и функиии f (о) и К (o)i F{c)F (Ii) + F («) (p,o + pao") +...

K(=) = K (H) + K (w)(pia + р2в") + -.. (10.202)

Здесь

«=<e>. Я = </)>, f = <V>. <a> = <e"> = ... = 0

<p>= <p"> = ... =0, <V"> = <>> = ...=0. Подставим (10.201) и (10.202) в систему (10.198) н усредним полученные уравнения, сохранив в них наряду с главными членами поправки, имеюшие порядок Pi и р1. Такой выбор формы возмущенной задачи объясняется тем, что параметр Pi присутствует в невозмушенной задаче, а - характеристика неоднородности полей пористости и Проницаемости. Итак, имеем

g~ + V {f (ы) Р+ [xpib (и) vF{u)Jic)) = -pi V <[F (u)c"V-]>

div = 0 (10.203)

Здесь ft- эффективная проницаемость среды при фильтрации однородной жидкости и, кроме того, принято условие /С(")С1» обычно выполняющееся при -1.