Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

случаям крупно- и мелкомасштабных иеоднородностей. Следует отметить, что масштаб неоднородности в решаемой задаче, как в этом легко убедиться при помощи анализа размерности и ic-теоремы теории подобия, входит в искомые соотношения в комплексе со временем н радиусом

nl = а?1аЧ, «J = dr. (4.70)

Таким образом, критерием крупно- и мел ком асштабн ости будут соответственно условия:

1) г»!; 2)

Однако роль параметров щ.а в процессе восстановления давления неодинакова. Как известно, для нулевого приближения (4.64) при достаточно больших t скорость изменения давления не зависит от г. Следует ожидать, что этот эффект должен наблюдаться и в случае неоднородного пласта, т. е. для больших моментов времени скорость изменения давления будет определяться параметром ici. В этом смысле можно считать, что любая неоднородность при достаточно больших / является мелкомасштабной. Для малых моментов времени, если «2 > I, критерий крупномасштабности всегда выполняется.

Отмеченное обстоятельство обусловливает практическую значимость рассмотрения асимптотики а-со и тем более а-0.

Итак, пусть а-*-со. Нетрудно убедиться, вычислив соответствующие интегралы, что

< 2 > =

аЧ (г) 4-

.(4.71)

Использовав (4.71) и положив = Z)/Ao, найдем при г1АаЧ<С\

(4,72)

Очевидно, что прн достаточно больших / можно в (4.72) пренебречь и последним членом.

Из полученных соотношений следует, что в случае крупномасштабных иеоднородностей для подсчета среднего давления можно пользоваться известной формулой (4.64), но вместо в нее следует подставить эффективную характеристику

ft*=fto(l+CV- (4.73)

Рассмотрим случай мелкомасштабных иеоднородностей, ограничиваясь изучением Х( при больших /. Нетрудно видеть, что при таких условиях справедливы асимптотические выражения

Wl =--2?! с, /

(4,74)

Подставляя (4.74) в (4-67), после усреднений по вероятности получим

Если корреляционная функция имеет вид (4.69), то при а -» О

Vr-K (Р) = -2щЬ (р), (4.76)

и, проведя преобразования, получим

0D *

Складывая (4.75) и (4.76). найдем асимптотическую плотность

источников, порожденных рассеянием поля ро(г,/) мелкомасштабными флуктуация.чи

Подставив (4.78) в (4.61) и сложив <рг> с ро, получим, что для достаточно больших t с точностью до конечной аддитивной постоянной

.2 \

(4.79)

Таким образом и в этом случае верна формула (4-64). где вместо ко фигурирует эффективная характеристика

k* = ko{\ -bCW- (4.80)

Следуег отметить, что последние результаты получены в предположении независимости флуктуации проницаемости от координаты 2. Если считать проницаемость изотропной функцией переменных X, у, Z, то для крупномасштабных неоднородностей формула (4.73) остается в силе. Напротив, для мелкомасштабных неоднородностей, а это в данном случае означает, что кроме < 1 выполняется условие а/Л < 1, где Л -толщина пласта, эффективная характеристика fe* имеет вид

А*=Ао(1-1-СЗ)-. (4.81)

Полученные формулы можно использовать при интерпретации результатов исследования скважин по кривым изменения забойного давления. При этом следует иметь в виду, что средние, найденные в задаче, вычислены для ансамбля пластов, а проводя исследование реальной скважины, мы имеем дело с одним пластом и, следовательно, сопоставление необходимо проводить в условиях, когда эффективные характеристики статистической модели (ансамбля) имеют непосредственное отношение к аналогичным характеристикам реального объекта. Иными словами, должна существовать своеобразная эргодичность. В нашей задаче это имеет место

для достаточно больших времен и мелкомасштабных иеоднородностей, т. е, тогда, когда флуктуации давления по ансамблю перестают играть существенную роль и распределение его становится неслучайным, ио смещенным относительно ра{г, i).

Из сказанного вытекает, что для реального процесса восстановления давления в неоднородном пласте характерны три периода. В первом периоде восстановление давления в скважине существенно зависит от распределения проницаемости в непосредственной ее окрестности. Интерпретируя начальные участки кривой восстановления давления, можно определить характеристики приза-бси1ной зоны скважины. Третий период характерен тем, что восстановление давления определяется статистическими характери-ст[ками неоднородного пласта, отсутствием влияния призабойной зоны, в этом периоде характеристики статистической модели должны совпадать с эффективными параметрами реального процесса.

Второй период является переходным, и при определенных условиях интерпретации его может дать информацию о масштабе неоднородности а, что весьма ценно, но, очевидно, связано с большими Трудностями.

Задачу о среднем поле в случайной среде с источником можно рассмотреть и в общем случае, не конкретизируя фильтрационного механизма, а предполагая лишь, что он описывается при соответствующих дополнительных условиях уравнением

Lp-i-fO, (4-82)

где L-линейный оператор, зависящий от случайного поля проницаемости, например в первом разделе данной главы оператор L был эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка с переменными случайными коэффициентами, а в третьем - параболическим: f- плотность неслучайных источников.

Далее, используя операторный метод и следуя [37], получим уравнение для среднего поля <р>.

Усредняя (4.82), запишем

<1><р>+< Lp > + f = О, (4.83)

и, следовательно, для получения искомого уравнения нужно вычислить момент < Lp >.

Пусть L~ - оператор, обратный L- Тогда

p+L~>f = 0. (4.84)

и усреднив последнее уравнение, найдем

< р > + < > f = 0. (4.85)

Вычитая из (4.84) равенство (4.85), определим флуктуацию

p = \<L-> >~L->\f, (4.86)

или, использовав (4.85», запишем

р = [L-> < L-> >--1]< р >. (4.87)

где / - единичный оператор. 76