Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [ 74 ] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

цесса v(I), характеристикой которой служит весовая функция B(i, ii) - автокорреляционная функция процесса

Очевидно, в случае произвольной функции B(t, i\) локализовать уравнение ве удается. Если процесс vli) стационарен, fi = fi(f - - 11) и Уравнение (10.16), дополненное начальными условиями, можно решить при помоши двойного преобразования Фурье по обеим координатам.

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи, когда уравнение для и{х, t) можно локализовать. Интуитивно ясно, что это в первую очередь случай «короткой памяти» процесса v [t). Пусть е - масштаб корреляции процесса, определяемый равенством

e = fi-i (0)1 fi(T)dx. (10.17)

и пусть е сТогда уравнение (10.16) естественным образом локализуется и является уравнением параболического типа

В самом деле, при условии, что е С , а ди (г, ti)/d) ограничена, основной вклад в интеграл (10.16) вносит интервал ((-Г), где число k зависит от скорости убывания корреляционной функции B{( - t\). Например. еслиВ~ехр-]/ - /е], то для А приемлема оценка k< 10, При этом интеграл по промежутку (О, t-k&) составит не более 10~ от интеграла по всему промежутку (О, /). Если же В-ехр(-[t - /)/е], то для этого достаточно взять к-2,

Таким образом, для интеграла (10.16) имеем оценку = У ,

И если в промежутке (/ - кш, t) вторая производная меняется незначительно, то

что по сушеству эквивалентно равенству

В(1~1,) = вВЬ (/ - /,),

т. е. замене В в рассматриваемом приближении с конечным, но малым временем корреляции е некоторой дельта-коррелированной функцией. Локализацию, достигаемую в результате такой замены, назовем грубой локализацией.

Рассмотрим теперь случай 1<ш. Тогда в (10,16) следует положить В (х) = В (0) и

Продифференцируем уравнение (10.19) по х

+ r=f?l%li>-</,. (10.20)

dtdx

Дифференцируя то же уравнение (10.19) по t, учтем что подынтегральная функция зависит от /, поскольку от / зависит г. Поэтому се дифференцирование по а точностью до множителя совпадает с результатом дифференцирования по д;

,£L+i = A£L«J {llkLhl ,t,. (10.21)

Исключая из (10.20) и (10.21) интеграл, получим уравненпе

«11 + 2Г + iW В)т- g = 0. (10.22)

Нетрудно убедиться, что при S>0 (10.22) будет уравнением гиперболического типа. При постановке для него задачи Коши следует задать помимо и(х. 0) также ди(х, 0)/д(. Пусть, например, задано начальное распределение концентрации с (л, 0) = [(х). Отнесем это условие и к средней концентрации, а для второго дополнительного условия используем усредненное уравнение переноса (10.16) при ( = 0. Естественно полагать, что решение возмушенного уравнения (10.22) при малых временах t должно быть близким к решению невозмушенного уравнения, т. е. уравнения (Ю.З), в котором v=W. Естественно также считать, что должны быть близки и их производные, в частности производные по времени. Для невозмушенного уравнения начальное значение du{dt не задается, его можно найтн из уравнения невозмушенного переноса (10.16) при = 0

ди(х, 0)/dt--Win-du(x, 0)/дх.

1аким образом, в качестве начальных условий в дальнейшем будут использоваться еледуюшие «оотношения!

ч(х, {}}=1(х), ди{х, 0)/dt = -Wfn-f{x). (10.23)

Решение уравнения (10.22) при условиях (10.23) имеет вил

Рассмотрим задачу об эволюции начального раапределения - кполочки» и{х, 0) = 1 -ft (дг). Тогда решение уравнение (10.22) имеет вид

..,..0-l-l/,(.-»±j2,) I.(, t=Jll,), „0.25,

т. е. иаходная «полочка» равпадаетвя на две «полочки» половинной ныооты, движушиеся со скоростями иа У В/т больше и соответственно меньше, чем средняя «корость W/m. Два скачка вмевто одного,

порождаемого невозмущенным потоком, конечно, относительно грубо аппрокснмирукуг профиль концентрации длн произвольной плотности распределения случайной скорости у. которая при больших в является случайным параметром, не зависяшим от времени /<е, т. е. является случайной величиной. Для передачи специфических особенностей волны и {х, t) следует учесть более высокие члены ряда возмушений. Правда, получить локальное уравнение в этом случае не удается.

Рассмотрение дисперсии от мгновенного точечного источника,, выделившего в начальный момент в поток некоторое количество примеси q, приводит к начальному условию / (х) = дЬ (х). Эволюция этого распределения в соответствии с общим решением сводится к разделению порции q иа две равные части, «плывущие» со скоростями {Х + Ув)/т » (W - V"B)/m.

Если S = 0. то уравнение (10.22) параболического типа. Оно не содержит первых производных и поэтому заменой переменных его можно привести к обыкновенному дифференциальному уравнению dx/dt = /т, эквввале1Тному исходному несозмушенному уравнерию в частных производных.

Отметим, что случай е<1 можно истолковать так же, как распространение примеси в слоистой системе, скорости в которой распределены случайно и не зависят от времени. Случай этот достаточно интересен в прикладном отношении, поскольку соответствует широко распространенным на практике неоднородным системам.

Рассмотрим еще один случай, когда уравнение (10.16) можно локализовать. Пусть корреляционная функция процесса имеет вид

{(-(}) =Sexp(-

Продифференцировав уравнение (10.16) по х, получим

Дифференцируя (10.16) по / с учетом принятого в (10-25) B{t - - /]), запишем

-Jfs„ ,„?!!li!iii.),,. „0.27)

171 n ax

Исключив из (10.26) и (10.27) при помощи (10,16) интегралы, получим локализованное уравнение второго порядка.

;0. (10.28) 22»