Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Если поле а изотропио, а = = я и преобразование переходит в о = а/ра, т. е. является инверсией точек прямой 0< а< со относительно иентра инверсии Ка/р- свободного параметра преобразования. Уместно подчеркнуть, что изотропия полей в и а не означает, вообще гоюря, изотропии соответствующих им полей а* и о,. Поэтому в общем случае

О у ,6.35)

Пусть среда состоит из двух компонентов с проводимостями а, и 02 и пусть а/р = ej. Тогда локальное преобразование исходноЙ1 системы в штрихованную запишется так: з = af/o. Легко видеть, что При таком преобразовании подобласти, содержащие в исходной среде компоненту 0), сохранятся и в среде штрихованной. Подобласти проводимости 32 переходят в подобласти проюдимости з?/о2- Таким образом, при полном сохранении геометрии исходная и штрихованная среды будут различаться лишь тем, что в среде штрихованной вторая компонента будет иной, чем в Среде исходной. Если а*-тензор эффективной проводимости исходной Среды при фиксированной р-кон-центрации первой компоненты следует считать, что

а* = о* (Р, б,. 32).

Тогда 0)-тензор эффективной проводимости штрихованной среды запишется так

а] = а* (Р, о,, о?/аг). Отсюда из формулы (6.35) следуют соотношения для компонентов

<31}(Р, 31, 02)322 (Л 31. о/аг) = О?.

гг(Р, 01, 02)011 (Р, 01, 01/02) = о?. (6.36)

Проверим соотношения (6.36) на простом примере слоистой среды.

Считая оц Продольной, а огг поперечной компонента1ли тензора проводимости, запишем

oil (Р, 01, 02) = <о> = Poi + (1 - р)си 022 (Л 0, 02) ~ <0->~ = 03aIPo2 + (1 -P)oiI.

Подсчитав ом(Р, с,, o?/o?) = <о>~о? и си{Р, 0, 01/02) =

<о~>о, убеждаемся, что равенства (6.36) обращаются в тождества .

Интересен случай ог-;-0, т.е. исходной области с непроюдящимш подобластями. Легко видеть, что в штрихованной системе эти подобласти Превратятся в идеальный проводник с бесконечной проводимостью. Ссютношення (6.36) примут вид

о (Р. 0. о азз(Р, о). od) = of, (6.37)

iis(P, о,, 0)oii(P, 0, od) = 0.

Если рассматриваемая система изотропна, оба равенства в (6.37) совпадают, и можно записать а* = а/о,.

1, 0);(Р, I. od) = l. (6.38)

Таким образом, считая проводимость о, единичной, приходим к выводу, что проводимость дополнительной системы, т. е. системы, в которой изолятор заменен идеальным проводником или, наоборот, идеальный проюдиик заменен изолятором, эквивалентна сопротивлению исходной среды.

А. М. Дыхне рассмотрел случай, когда плотность распределения величины к = 1по - <1па> является четной функцией к. Тогда при а/р = ехр(2 <1п о>) логарифм штрихованного поля распределен аналогично и, следовательно, макроскопические характеристики исходного и штрихованного поля идентичны. Поэтому

о" = = ехр < 1п о>. (6.39)

Формулу (6.39) можно преобразовать и придать ей вид, подсказывающий юзможные пути обобщения. Итак, поскольку

1па = х + <1па>, (6.40)

имеем Отсюда

о = ехр [х + <1п 3 >). (6.41)

<о>=е"° JeV(K)dK. (6.42)

<в-1> =е-<"=> у e-/(x)dx. (6.43)

- 00

Но, поскольку /(я)- четная функция, последнюю формулу можно переписать в виде

<о-> =е-<"=> у e/(ic)dx. (6.44)

- СО

сравнив (6.42) с (6.44), получим

ехр<1па> =[<5> <о->-)/ (6.45) и, следовательно,

а- = (<в> <а-1 >-!)/!. (6.46)

Если распределение к-гауссово, то

<5>ехр(-Д2/2). Д2=<х2>. (6.47)

Для гауссового распределения ]по можно получить иное выражение для <1по>

<lna>=-Lin П- <i=~<>f>

и, следовательно, из (6.39) вытекает

0-= <а>{1 +С2)-2. (6.48)

Это точные соотношения для двумерного поля, логар[фм проводимости которого нормален.

Разложив Kl + J в ряд, ограничиваясь первыми двумя членами, получим

а-= «,> (I +С/2)-, (6.49)

При малых С последней формуле эквивалентна зависимость

, = <с.>(1 -С/2). (6.50)

Если поле логнормально, то в случае одномерного поля имеем-о < >- = ехр 1а - Д2, (6.51)

й= <]п5> = 4ln, u=ln(I-fC).

Отсюда

е- = ехр 1п <а> - 1п (1 + С2) (6.52)-

о = <о>(Ц-С2)-.

Применение метода возмущений к исходной задаче (см. четвертый раздел, гл. 6) лает

а = <о>(1 +г.Ьп)~ , (6.53)-

гле п-Произвольная размерность пространства. При этом логнор-мальность поля проводимости явно не предполагается. Сопоставление формул (6.48). (6,52), (6.53) позволяет предполагать, что эф фективнав проводимость для произвольного п, включая п = д. имеет вид

= <G>iYT, (6.54).

или в иной форме

а = <в>ехр(-Д2/га). (6..55)

Если 1по распределен по нормальному закону, последние формулы преобразуются к виду

у = <в>3 •>-t/3 ,6.56)

Таким образом, формулы (6.46), (6.51), (6.56) можно объединить в одну

I--L J

<» = 1<о>1 "Ко->-]". (6.57)

При п = I эта формула является точной при любом распределении, при я = 2 она точна, еели распределение х четное и, наконеи, при « = 3 можно ожидать, что формула довтаточно точна прн лог-нормальном распределении о.