Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

где Hi = <>!-среднее значение поля в соответствующей фазе. Используя основную гипотезу теорнн эффективной среды, будем

при подсчете И\ исходить из того, что включения проводимости о погружены в эффективную среду. Если лабораторные системы координат, связанные с включениями, произвольно ориентированы в пространстве, то, как уже было показано выше,

Я= <А-КЛ>Н, (6.170)

где усреднение проводится по углам Эйлера, а неслучайный тензор определен равенствами

Подстави]3 Я в систему (6-169) и исключив Н, получим

3, = a5£--P,(ai -ох А-КЛ >. (6.171)

Пусть для простоты все включения ориентированы одинаково. Тогда можно считать Л = F. и, следовательно,

-"=-+<--i-„;.-.i)- (6.172)

Преобразовав (6.172), получим уравнение

(1 - "О + of 1о ("<- Р\) + в iii - Р2)] - аа%; = О, в точности совпадающее с (6.159).

Таким образом, предположение о возможности погружения различных элементов неоднородности в эффективную среду эквивалентно по конечному результату гипотезе о погружении только одного вида элементов - включений-

Изложениая теория эффективных самосогласованных характеристик построена на базе в достаточной степени интуитивных физических соображений о поле во включениях. Остается неясным, как перенести идеи самосогласования на случай непрерывного поля Проводимости. Далее мы вновь, в связи с рассмотрением метода перенормировок и сингулярного приближения, вернемся к изучению самосогласованных параметров и оценке их качества. Там же будет рассмотрен еше один вариант метода самосогласования, называемый иногда теорией эффективного поля [121.

МЕТОД ВОЗМУШЕННЙ

Система дифференциальных уравнений для локальных характеристик- потока V и поля h

v = ah, divo = 0, rotft=0, (6.173)

равенства, определяющие эффективную проводимость,

К= <у>. Я= <ft>. К = с*Я Г6.174)

вместе с дополнительным условием, фиксирующим Н либо V, представляет собой замкнутую систему для вычисления эффективной проводимости а*. Здесь уместно подчеркнуть, что поскольку цель - не получение единственного решения системы (6.173). а определение связи между любыми средними потоком и полем, удовлетворяющим

системе, фиксация Н либо V носит условный характер, так как эффективная проводимость не зависит от них. Как будет видно далее, дополнительное условие вводится для реализации способа определения эффективной проводимости. Используя представления

а = оо + о, h = H + h, 30= <а> (6.175)

и усреднив первое уравнение из (6.173), получим

К = ооЯ+ < cft >. (6.176)

Поскольку система (6.173) линейна, флуктуация поля ftдолжна быть линейно связана со средним полек Я, т.е.

h-=S-H, (6.177)

где случайный тензор 5 подлежит определению из исходной систе.\1ы (6.173).

Подставив (6-177) в (6.176) и сравнив с (6.174), получим

а* = 00 + < aS >. (6.178)

Таким образом, вычисление о* сведено к определению тензора 5 и вычислению его корреляции с о. В самом деле, подставим

(6.175) в (6.173) и учтем постоянство Н. Тогда

div 1(00 + о) ft] = - V оЯ. (6.179)

Поскольку и = const, поле ft, как и ft, является безвихревым и, следовательно, существует функция и (г) - его потенциал

h = Vu. (6.180)

Подставив (6.180) в (6.179). запишем

div (30 V н) = - V зЯ - div (о V и). (6.181)

Введем в рассмотрение два дифференциальных oneparopai Lo = div (оо V ) н Ц = -div (о V),

а также интегральный оператор Мп, обратный оператору Lo, т. е. Afo=> = i. Тогда, обозначив 9=-V оЯ, получим

Lou = f+ Uu, (6.182)

или равносильное ему равенство

и - Mof + МоЦи. (6.183)

Переписав его в виде

(Е-МоЦ) u = Mo4f, (6.184)

можно формально записать и решение

ы = (Е - Afo/.,)-Mo4>- (6.185)

Разложив его в ряд по степеням МйЦ, получим

W = S (AfoZ-i)" Afop. (6.186)

Теперь легко записать выражение для тензора 5

5--S W {МаЦ)" MoW. (6.187)

И, следовательно, эффективная проводимость имеет вил

о* = а-. - X < о V (AfoZ-i)" Afo V ° > (6.188)

Изложенная процедура в принципе предполагает сходимость ряда возмущений, которая, как показывают исследования, не всегда имеет место. В этом факте заключена причина возможных существенных погрешностей при использовании только первых членов ряда, если возмущения достаточно велики. К этому следует добавить, что с ростом п аналитические трудности при вычислении членов ряда стремительно возрастают, так что на практике приходится ограничиваться вычислением квадратических по флук-туациям а членов (/г = 0). В некоторых случаях вычисления удается осуществить и для п = 1 и т. д.

Рассмотрим подробнее структуру ряда (6.188). Нетрудно видеть, что первый член ряда (л = 0) учитывает парные корреляции случайного ПОЛЯ о, последующие члены зависят от корреляций более высокого порядка. Из этого следует, что учет конечного числа членов соответствует игнорированию всей совокупности многоточечных взаимодействий, исключая парные, тройные и т. д., в зависимости от числа удержанных членов ряда.

В последнее время получили развитие методы частичного суммирования ряда возмущений, основанные на идее выделения в каждом члене ряда такого слагаемого, которое учитывает специфическое взаимодействие определенного вида, и последующего суммирования ряда, составленного из таких членов. Таким образом осуществляется учет всего многообразия взаимодействий, но 148