Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Если трактовать систему (6.1) как фильтрационные соотношения, то в случае фильтрации однородной жидкости в неоднородной

по проводимости среде под v следует понимать вектор скорости

фильтрации, векторное поле Л определяется потенциалом-давленнем

р, Л и=-VP, локальная проводимость а = k/ является случайным тензором, зависящим от координат. Вводя в рассмотрение средние по объему потоки и поля

V = <v>. H=<h>. (6.2)

определим тензор эффективной проводимости а из равенства

V = аН, (6.3)

Если к системе (6.1) в качестве дополнительного условия при-

соединить зафиксированное среднее поле И либо средний поток V, то решив соответствующую задачу, следует найти соответственно

V либо И. Знание V и И дает возможность в соответствии с ( 6.3) найти о-эффективную проводимость.

Локальную о и эффективную - а* проводимости иногда называют динамическими модулями, поскольку они связывают динамические характеристики - потоки и поля. При вычислении локальной дис-сипируемой энергии

е= vh = hah=v {s)-v (6.4)

используется также локальный динамический модуль с. Возникает вопрос о вычислении эффективных энергетических модулей, которые можно определить по формулам, аналогичным (6,4)

Е=<е> = ЯоЯ = V ial)~V. (6.5)

Можно показать, что в случае, если поля А и у стохастически однородны и однородно связаны, динамические и энергетические модули тождественны. Действительно, записав

£= <е> = <vh> = VH + <уЛ>, (6.6)

перейдем к вычислению кор реля ционного момента < vh >. Поскольку rot Л = О, поле Л имеет потенциал р, представленный в виде

р = -гН + \. (6,7)

где скалярное поле ). стохастически однородно и <Х> =0, Итак

<vh>= ~ <v vX> = - <div (iM>-l-<Xdivi>, (6.8)

но, так как <уХ> = const, а div и= О, оба члена в последней равенстве равны нулю н, таким образом,

<;Л>=0. (6.9)

т.е. след взаимной корреляционной матрицы поля и потока равен нулю-

Подставляя (6.9) в (6.6), получим

E=VH. (6.10)

Затем, используя формулу (6.3), найдем

E = HoHV{o)-W. (6.11)

Q)aBHHB (6.11) с (6.5), получим

о- = о1, (6.12)

т. е. динамические и энергетические эффективные проводимости в однородных неограниченных средах действительно тождественны.

Рассмотрим кратко развитие методов определения эффективной проводимости. При этом из множества работ, посвященных эффективным параметрам, выделим лишь некоторые, связанные либо с новыми подходами к решению задачи, либо с новыми результатами. К тому же, поскольку определение эффективных параметров различных полей - задачи математически полностью илн частично эквивалентные, многие результаты независимо и многократно были получены и опубликованы различными авторами [43].

Есть основание полагать, что впервые задача вычисления эффективных параметров неоднородных систем приведена в работах Пуассона, изучавшего магнитные свойства неоднородных систем с включениями. Позднее Моссоти, а затем и Клаузиус применили метод Пуассона для исследования неоднородных диэлектриков. Рассмотрение задач подобного типа в оптике связано с именами Лоренца и Лорентца, изучавших коэффициенты преломления сред в зависимости от поляризуемости и концентрации частиц.

В работах Максвелла, Рэлея рассмотрена задача о проводимости систем матричного типа с включениями иной проводимости, размещенными регулярно либо хаотически, получены формулы для эффективной проводимости таких систем, верные в приближении малой концентрации включений, показано фундаментальное значение для систем с редкими включениями задачи о единственном включении в неограниченной однородной среде.

Подход, развитый в работах Максвелла и Рэлея, породил огромное количество публикаций, в которых рассмотрены различные частные задачи и получены асимптотические формулы для эффективной проводимости. Некоторое представление об этих работах можно получить из большого обзора К. Лихтеиеккера [43], обзорной части статьи Д. Бруггемана [39].

Для расчета эффективных характеристик использовались представления теории самосогласованного поля, развитые первоначально в физических работах, связанных с анализом многочастичных взаимодействий. Принцип самосогласования состоит в том, что при расчете поля внутри включения считается, что оно окружено «эффективной» средой, т. е. средой, проводимость которой тождественна искомой эффективной проводимости. Усредняя рассчитанное таким образом поле по всем включениям и полагая его равным заданному макроскопическому полю, получим уравнение для отыскания эффективной проводимости.

Вероятно, первые самосогласованные параметры вычислены в работе Д. Бруггемаиа [39]. Позднее аналогичные результаты были получены В. И. Оделевским [25], Р. Ландауэром [42] и многими другими авторами.

Следует отметить, что хотя прн расчетах методом самосогласования предполагается, что концентрация включений не слишком велика, результаты сопоставления с экспериментом [25, 42], независимыми прямыми расчетами методом Монте-Карло [32], сопоставлении с известными точными решениями показывают исключительно высокую точность самосогласованных характеристик практически во всем диапазоне изменения концентрации включений. Метод самосогласоваиия дает правильные оценки критических концентраций непроводящей компоненты, т. е. порог, характеризующий фазовый переход «проводник-изолятор>.

К описанному методу самосогласоваиия близок метод расчета, который естественно назвать дифференциальным самосогласованием. Согласно этому методу, впервые развитому Д. Бруггеманом [39], самосогласование проводится при внесении в среду, наделенную искомыми эффективными свойствами, малых порций включений для установления связи между приращениями эффективных параметров и приращением концентрации. Интегрируя полученное таким образом обыкновенное дифференциальное уравнение, находят искомую зависимость эффективных параметров от концентрации. Следует отметить, что процедура дифференциального самосогласования обладает свойством сильного перемешивания и потому непригодна даже для качественной оценки явлений типа фазового перехода «проводник - изолятор».

Известны и другие модификации процедуры самосогласования, например рассмотренные в [12].

Перечисленные методы не носят регулярного характера в том смысле, что успех достигается в результате учета конкретных особенностей задачи и пренебрежения факторами, несущественными в рассматриваемом частном случае. Как правило, упрощающие гипотезы обосновываются на интуитивном уровне и носят лишь качественный характер.

Рассмотрение задачи в полной постановке связано с применением методов теории возмущений, основного аппарата современной теоретической физики. Выбрав соответствующую «иевозмущен-ную» задачу, в принципе можно записать формальное решение