Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Конечные семейства случайных величин (случайная величина, случайный вектор) могут рассматриваться как частный случай произвольных семейств случайных величин. Пусть рассматривается семейство случайных величии (С»), где t принадлежит некоторому множеству индексов Т. Если Т содержит лишь одну точку, С(] - случайная величина, а если множество Т конечно, {С( - конечномерный случайный вектор. Более сложный случай, когда Т-множество целых чисел, приводит к понятию бесконечномерного случайного вектора илн, как говорят, случайного процесса с дискретным параметром - «временем». И, наконец, если Т - интервал действительной оси, то семейство случайных величин называют случайным процессом с непрерывным параметром - «временем». Иными словами, случайный процесс с непрерывным временем - это случайная функция, определенная на множестве Т. Результатом эксперимента ддя этой модели является некоторая обычная функция, заданная на множестве Т. Ее принято называть реализацией, или выборочной функцией.

Вероятностное поведение случайной функции С (О определяется семейством конечномерных распределений

F{xu Хп, t....., tn) = P {(,{h)<xr.....r,(U)Kxn], (1.3)

где t\, ..., tn - произвольное конечное множество значений I, а I, 2, ...

Конечномерные распределения случайной функции должны удовлетворять условиям согласованности и симметрии [7].

Если случайная функция зависит более чем от одного аргумента, говорят о случайном лоле в пространстве аргументов, каковым обычно в физических задачах являются время / и пространственные координаты X, у, г.

Случайное поле может описываться не одной, а несколькими случайными функциями, т. е. являться случайным векторным полем, как например скорость фильтрации. Очевидно, случайное поле может являться и тензором некоторого ранга.

Пусть М {(, г) -точка в четырехмерном пространстве-времени. Полное задание скалярного случайного поля С {Щ означает, что известны все его га-мерные (« = 1, 2, . ..) плотности вероятностей, т. е. для любого числа п произвольно выбранных точек М, известны функции

/«(Ci. .... С«)й:...... йч„ = /{С,<С(М,)<

<C.+rfC,. (= 1, «). (1-4)

где Р {С, < С (Л1,) < С. + rfCv) - вероятность того, что случайная величина С(Л1) лежит в интервале (С, С +«0, а /л подчинены условиям неотрицательности, симметрии, согласованности и нормировки. Аналогично определяются векторное н тензорное случайные поля.

Важный класс случайных полей - поля, характеристики кото-)ых инвариантны относительно преобразования сдаига и врашения. -калярное поле С называется однородным (в узком смысле), т. е.

стационарным по времени i и однородным по лг, у, г, если все п. мерные плотности вероятности инвариантны относительно преобра. зовання сдвига М -* М + ДМ

/>{C.<C(M. + iM)<C,+rfC.. v=i, .... « = />{С,<С(М.)< <C,+rfC„ v = I.....n\. (1.5)

Очевидно, поля могут быть однородными по части независимых переменных. Например, поле может быть однородным по времени (стационарные поля), но неоднородным по пространственным переменным. Возможен и обратный случай - поле однородно по пространству, ио нестационарно. Наконец, может иметь место случай однородности по части пространственных переменных.

Следует отметить, что использование плотности вероятности - не единственный способ полного описании случайных величин или функций. В последнее время при исследовании проблем турбулентности [21] и статистической радиофизики [13, 31] применяется метод описания, основанный на задании случайных объектов при помощи характеристических функций и характеристических функционалов, а также аппарата вариационного (функционального) дифференцирования. Примеры применения такого подхода будут Приведены в главе 10.

Моменты случайных полей

Для полного описания случайных полей требуется задать все мтюгомерные распределения на всевозможных множествах точек пространства и времени. Нахождение таких распределений в практических ситуациях сопряжено с большими трудностями, поскольку требует большого объема экспериментальной информации и высокой точности при ее обработке. Поэтому при решении конкретных задач часто ограничиваются изучением более простых вероятностных параметров случайных полей, например моментов. В общем случае моменты - функции координат. Во многих случаях достаточную информацию доставляют моменты первого и второго порядков, с которыми оперирует корреляционная теория случайных полей.

Момент первого порядка (математическое ожидание или среднее значение) определяется при помощи одномерной плотности вероятностей / (С)

<C(M)> = fc/,{C)rf;. (1.6)

Флуктуация поля, т-е. его отклонение от среднего поля, определяется так

С(М) = С(М)-<С(М)>. (1.7)

Для вычисления моментов второго порядка необходима двумерная плотность вероятностей /2(Ci. Сг)- Смешанный момент второго порядка поля С вычисляется по формуле

B,(Mi, M2) = <c(M,)C(M2)>-nc„W!(c,:!)rfCirfCs. (is)

Смешанный момент второго порядка поля флуктуации называется корреляционной (автокорреляциойной) функцией

/СсШ,. ;мг)=<:(м,);(М2)>. (1.9)

функции Bt и Ки связаны соотношением

Ki(Mu М2)-В;(М,. A?s)-<C(M,)><C(M2)>. (i.iO> кроме того, они симметричны относительно своих аргументов М, M2I

В;(М,.М2) = Вс(М2, М,). /С:(М,, Mi) =К {Ml, Ml), (l.ii)

Корреляционная функции Ка (М\, Ms) является положительно определенной, т. е.

и К, (Ml. М2) f (Mi)f(M2)dV,dV2>0, (i.i2>

где ¥ (М) - произвольная ф>нкция; dV], rfV2 - элементы объема в пространствах jMi и Ms; W - произвольная область интегрирования в пространстве Mi X Mj-

Дисперсия случайного поля D (С] определяется как

D[q = а?(М)=<;2(М)>=<[С(М) -<;(М>>=

-/Сс(М, М). (i.iS)

Важным показателем изменчивости поля служит коэффициент вариации

(М) = ас (М)/<; (М) >. (i.H)

Многомерное случайное поле С** (М) в корреляционной теории

характеризуется средними индивидуальных полей (М)> и

корреляционной матрицей

Кц(1, М,,М2) = <С*(М,)С<"(М2)>. (I.i5>

В корреляционной матрице диагональные элементы - автокорреляционные функции, остальные элементы - функции взаимной корреляции. Нормируя элементы корреляционной матрицы, получим матрицу коэффициентов корреляции Xj/(Mi, М2).

hf (М,, М2) = А:,7 (МI. Mj)/c.:.- (М,) (М2). (Мб)

Все коэффициенты корреляции удовлетворяют условию

Перейдем к рассмотрению случайных полей, зависящих только от пространственных координат х, у, г, определяющих радиус-