Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

фильтрационный перенос и дисперсия потока в средах со случайной пористостью

Нерегулярность строения пористых структур порождает флуктуации любых статических и динамических характеристик системы пористая среда - жидкость. Принято считать, что главное значение при переносе имеют флуктуации параметров, характеризующих проводимость системы, поскольку обычно эти флуктуации достаточно велики. Флуктуациями емкостных характеристик - пористости, просветности обычно пренебрегают, тем более, что эти параметры непосредственно не входят в уравнения фильтрации однородной несжимаемой жидкости. Однако, такой подход, естественно, ие универсален. Например, при изучении фильтрационной дисперсии пористость входит в уравнения переноса и, следовательно, если ее флуктуации значимы, необходим их учет, который в рамках уравнений для средней концентрации должен привести к появлению некоторых новых эффективных характеристик.

Рассмотрим простейшую модельную задачу, проясняющую специфику фильтрации в средах со случайной пористостью. Пусть в одномерной системе, ориентированной вдоль оси х, пористость т = пЦх) является случайной функцией координаты х. Через границу системы д: = 0 в начальный момент / = 0 начинает поступать жидкость с постоянной и неслучайной скоростью фильтрации v. Будем считать вытеснение поршневым и интересоваться положением границы раздела в зависимости от времени. Очевидно, для этого следует решить задачу

dx/dt = vim {X), хф) = 0. (10.63)

Поскольку функция т[х) случайная, различным реализациям нашей системы будут соответствовать различные положения границы x=x(i). Введем y{t) = <x{t)> и получим для него уравнение, осреднив по ансамблю (10.63). Тогда

dyidi = v<m-4x)>, (/(0)=0. (10,64)

При этом следует учесть, что непосредственное усреднение в (10.63) затруднительно, поскольку в общем случае правая часть не является обычной случайной функцией, так как в различных реализациях определена в разных точках пространства-координатах фронтов.

Запишем для любой реализации нашей системы очевидный интеграл уравнения (10.63)

у m(u)du = vt о

и введем случайную характеристику т - эквивалентную пористость области, где прошел фронт

I

Тогда

X = vtlm.

Теперь введем т* - эффективную пористость системы при помощи естественных соотношений

у= <х> = <vl/in> = vt/m*.

Отсюда имеем

т* = <

-т {u)du

>-, (10.65)

т. е. эффективная пористость является функционалом от случайной пористости по области, где прошел фронт. Поскольку в (10.64) параметр х случаен и неизвестен, выразить т* через ; не удается. Как и в Других подобных задачах, возникает проблема замыкания, решить которую можно либо приближенно, либо рассматривая специальные частные случаи.

Нетрудно установить, что эффективная пористость заключена в «вилке»

< т- >-• < т* < < т>,

Границы которой реально достижимы.

Так, например, для х, малых по сравнению с масштабом корреляции пористости или, что тоже самое, для достаточно малого Времени t, из (10.65) имеем

т* = <т->-.

Очевидно, этот же результат следует и в случае, когда пористость т - случайная величина или, что тоже самое, рассматривается слоистая система, составленная из однородных слоев, вдоль которых Происходит движение.

Если пористость - Эрголическая случайная функция и, следовательно, усреднение по ансамблю и пространству эквивалентны, для достаточно больших х или больших значений времени имеем

т* = <1п>.

В любых других случаях эффективная пористость находится внутри «вилки* и характеризует конкретное состояние системы пористая среда - распределение фронтов.

Рассмотрим подробнее случай, когда пористость не зависит от координаты X. Тогда

jjvlm*, у(0) = 0, m*=<m-i>-. (10-66)

Таким образом, уравнение для средней координаты фронта вытеснения имеет тот же вид, что и (10.63), но вместо локальной характеристики т здесь фигурирует эффективная пористость т*. Очевидно, m*<mo=<m> и, следовательно, использование средней пористости для подсчета средней скорости перемещения границы раздела даст заведомо занчженный результат.

Интегрируя (10.66), получим y = vt/m*, т. е. средний фронт движется «ускоренно», но в эффективной среде сниженной пористо-240

сти. при этом для среднего фронта условие материального баланса ym* = vt выполнено точно.

Рассмотрим теперь задачу (10.63) при условии, что скорость фильтрации у = у(0-случайная функция времени, некоррелированная с пористостью т(х). Легко видеть, что все выводы, сделанные ранее, сохраняются при условии, что в формуле (10.66) необходимо заменить v на <и>.

Перейдем к изучению одномерного переноса динамически нейтральной примеси в среде со случайной пористостью. Очевидно, рассмотрение этой задачи позволит с несколько иной, более общей точки зрения проанализировать и только что рассмотренную задачу о движении границы раздела - поршня. Для этого достаточно положение границы - поршня определить при помощи функции у(х. /), которая равна единице в тех точках оси х. которые лежат левее границы, и нулю - в точках, которые лежат правее поршня. Трактуя эту функцию у(х, t) как концентрацию некоторой примеси и изучая ее перенос в среде со случайной пористостью, среднее значение <у(х, t)> можно интерпретировать как функцию распределения вероятности того, что поршень в момент времени t находится правее точки х. Располагая функцией распределения <(/>, можно дать полное описание движения поршня.

Итак, рассмотрим одномерный перенос примеси в среде со случайной пористостью т.{х), считая для простоты скорость фильтрации неслучайной и постоянной. Для кониентрации примеси имеем уравнение сохранения

- + 1 = 0. (10.67) Представив случайные функции т{х) и с(х, t) в виде

ш = ш[ -Н ш, шо = <п1>, с = w -Н с, ы = <с> (10.68) и усреднив (10.67), получим

Вычитан из (10-67) уравнение (10.69) и сохраняя главные члены, запишем уравнение для с (х, /)

+57 = -" дГ <10.70)

Дополнительные детерминированные условия, наложенные на с(х, t) отнесем к и{х, I). Тогда соответствующие условия для с(х, t) будут однородными и, использовав функцию Грииа (10.12), можно записать решение уравнения (10. 70)

z = x~vmo (t~x). (10.71)