Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [ 49 ] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

разложить в ряды, провести усреднения, т. е. в конечном счете получить ряд, содержащий свертки многоточечных корреляций. Для компактной записи этого ряда вводятся операторы

R={E - p).)--<(E - p\)->>- =limP,. R„= V ((р <р»Х*.

(6.204)

Тогда

Л„ = Л„ <Л>, з"= <аД„ >, Ап = {E-ga-)R„ < (E-go"rRn >- (6.205)

и формулы (6.202) и (6.203) приобретают вид

h=\imh„, = lime,". (6.206)

Очевидно, точное суммирование такого ряда практически неосуществимо, и потому приходится ограничиваться приближенными вычислениями.

Рассмотрим так называемое сингулярное приближение, сводящееся к игнорированию нелокальных взаимодействий, учитываемых оператором р. Положив в (6.203) формально р = 0, получим тензор эффективной проводимости в сингулярном приближении

0* = <о(£-ga)- >< (£-gO- >- (6-207)

Формула (6.207) имеет особенности. Во-первых, в отличие от формулы (6.203) в сингулярном приближении эффективная проводимость зависит от параметра - проводимости тела сравнения Ос, во-вторых, определенный произвол в выборе объема интегрирования Wf, в формуле (6.197), несущественный в принципе для точного решения (6.203), в случае сингулярного приближения эквивалентен достаточно произвольной фиксации тензора g.

Для более детального исследования зависимости (6.207) введем в рассмотрение постоянный тензор

g{b + i4 = ~E. (6.208)

Тогда уравнение (6.207) можно записать в виде

0.= <cф+a)- >< (Ь +а)- >-, (6.209)

(а, + Ь)- = <{<= + ft)-i > (6.210)

В обоих случаях зависимость о, от ft достаточно наглядна. Положив в (6-210) тензор Ь = О, получим

<Зй=о = < а-1 >-.

Аналогично

Таким образом, при произвольном b или ое значения а,, даваемые сингулярным Приближением, удовлетворяют неравенствам

<о- < о. < < о>. (6.211)

Поскольку точное значение лежит в «вилке» (6.211), существует b или Ос, для которого формула сингулярного приближения даст точное значение эффективной проводимости.

Рассмотрим в сингулярном приближении формулу (6.202) для поля

ft = (£ -go)-< (E-g)- >- <Л> . (6.212)

Очевидно, что если Ос никак не связано с основным полем, принятое приближение равносильно предположению, что поле в данной точке зависит лишь от проводимости о в той же точке (локальность). Связав же Ос с каким-либо функционалом над основным полем о, мы превращаем зависимость (6.212), вообще говоря, в нелокальную, тем сильнее, чем нелокальнее упомянутый функционал. Так, заменив ос функционалом - эффективной проводимостью о,, мы в рамках сингулярного приближения существенно учитываем нелокальные взаимодействия. При этом, если поле

о кусочно-постоянно, поле Л и, следовательно, v в пределах элемента неоднородности также постоянны.

Рассмотрим пример изотропной системы, состоящей из элементов, по форме близких к шару, проводамости которых с вероятностями Р и Рг принимают значения а, и ог- В этом случае эф(ективный элемент неоднородности - шар и, следовательно, тензоры g и Ь- шаровые. Легко видеть, что

Подставив b в (6.210). получим

Как уже утверждалось, выбирая 0, можно получить различные решения. Пусть, например, = о. Нетрудно убедиться, что в этом случае формула (6.213) эквивалентна (6.160), дающей эффективную еамосогласованную проводимость рассматриваемой системы. Совершенно аналогично рассматривается и соответствующая плоская задача. В этом случае g~ ~ 1/2ос, ft = Ос, и формула (6.210) имеет вид

- -6.214

Положив в формуле (6.214) в,; = о*, приходим к соотношению (6.163), полученному ранее в рамках теории самосогласованного поля.

Пусть теперь «с = а,. Из (6.213) нетрудао найти

Аналогично при = аэ

Легко убедиться, что такой выбор определил границы Хащина- Штрикмана [41] для пространственных нзотрошных композитов. Подробно эти границы рассмотрены дллее.

Подставив в (6.214) «с = и ос = эг, получим границы Хашина- Штрикмана для плоского изотропного поля. Они отличаются от границ (6.215) и (6.216) лишь тем, что вместо троек во втором слагаемом знаменателя плоской задаче соответствуют двойки.

Как показано А. Г. Фокиным, выбор -Зс = < о" и ос = = < о > также приводит к некоторой евилке», заключенной внутри границ Хашина-Штрикмана, но не гарантирующей, что точное значение 3* любой изотропной системы лежит внутри нее.

Случай <1с = <о> интересен и тем, что при таком выборе тела сравнения, решая нитегродифференциальное уравнение (6.195) методом итераций без выделения сингулярной части, мы получим ряд теории возмущений (6.188).

Вариант теории самосогласованного поля развит в работе [12]. Для пояснения рассмотрим задачи об эффективной проводимости среды с включениями. Проводимость среды и включений составляет соответственно ог и oi. Форма включений, как обычно, считается эллипсоидальной.

В Отличие от стандартного варианта теории самосогласованнога поля, в котором индивидуальное включение считается погруженным в среду с эффективными свойствами, в данном случае индавидуальное включение принимается погруженным в неограниченную среду, имеюш.ую Проводимость матрицы, т.е. а. В этой среде существует

некоторое, подлежащее определению, эффективное поле Я-, вообще

говоря, отличное от заданного среднего поля Я. При этом, очевидно, поле внутри включения постоянно

Я-Й.,С«-,-,. (6.217,

Для определения эффективного поля Я. используется условие, требующее равенства среднего поля по всей среде с включениями

заданному полю Я. Если Р - доля включений, это условие имеет вид

и, следовательно.

РЯ+ (1-Р)Я. =Я (6.218)

Я. = (1-Р)£]-Я. (6.219)