Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Ограничиваясь малыми второго порядка, получим

*1 = *о(1 + С)-, Dlkl (4.35)

пли для коэффициента анизотропии

Интересно, что формулы (4.35) и (4.36), являясь приближенными для любых распределений случаГжой величины k при достаточно малых флуктуэциях, являются точными в случае, если k распределено согласно нормально логарифмическому закону илн некоторым его модификациям. Если масштаб корреляции велик по сравнению с г, то, очевидно, * = *о и ?.= 1.

Следует помнить, что формулы (4.31) - (4.33) годятся лишь в случае малых масштабов корреляции. Критерием малости последних может быть малость безразмерной дисперсии решения по сравнению с единицей. Как будет показано далее, критерий этот в,1полняется в довольно широком диапазоне изменения параметров задачи.

Корреляция флуктуации поля и его дисперсия

Начнем с вычисления корреляции флуктуации поля, а затем найдем дисперсию как частный случай корреляции.

Используя равенства (4.23) и (4.25), можно записать

G{r, О)к-{0)-\о{г, ?)0;.{г, 0)dr-

"1 h-~T2

. (4.37)

Отсюда для корреляционного момента флуктуации поля

Г2) = <Uy(ry}U2{r2)> (4.38)

получим соотношение

Я,(г,, гг) = £)С(г,, 0)С(гг, 0) + J J G(r,, r)G(p2, г") x

"о

xG,-lr, 0)G;..(r*, O/fV-.i-rf-Mr" -G(r, 0) jG(r"2?)G-0) X

xA:."(0, z)dr"-C(n, 0)JG(,, r-)G..(r-, 0)K.-(0, z)dr% (4.39)

Разыскивая момент на оси г, положим = (О, О, 2i) и /-г = = (О, О, 22) и будем для определенности считать, что Z2> г. Вычисление интегралов в (4.39) проводится следующим образом. Сначала интегрирование ведется по переменным х, у и я:, у", а затем, задавая конкретное выражение корреляционной функции К (г, г"), вычисляем интегралы по г, г". При этом фундаментальное значение имеет результат вычисления следующего интеграла;

j G (т„ ?)Gr (>. 0)dW = - 1 (4.40)

Тогла двойной интеграл по всему пространству преобразуется следующим образом (интеграл из (4.Й))

I f°f sign г-sign г<. (г-, :)dz&i -ее I

Остальные интегралы в (4.39) однократны, вычисление их проще.

идя получения момента И в явном виде вледует задаться конкретной функцией К{,

Пусть структура елучайной функции k{z) такова, что ее второй разиоточечный момент можно прелвтавить функцией следующего вила!

Нетрудно убедиться, что вторая смешанная производная функции K{z, г") в этом случае аапишетея так

дЧ Ы,р „ Р. (г - г") - S (г - - е)- В (г -г" + )]. (4.43) дг дг

Подставляя (4.42) и (4.43) в вычисляемые интегралы и проделав весьма громоздкие выкладки, корреляционный момент флуктуации можно предетавить в виде

В завиоимоети от величины параметров Ci = z\h и = zt функция e(t;i, Св) принимает различный вид, например, при d > l. Сг - С < 1 имеем

I , с,-С; , C(2i:,-c,) 2i:,-c, = + ~ + "~сг- +

C(2-t-2i:;-C,) с, а(2.(.-Сг),

8(2+(:,-С,) "г + 21:.,.С, + 8(2-,-:,) "и+2С,~Сг ~

8(2 + С,-С,) 8(2-С.-1-С,) С, •

При Ci<l, С!<1 воответственно

fll3 I i(=2-i),„g.-i ta(2 + C.-2C) г + Сг-гС,

MS + t-Cj) г-с, н(2 с, + с,) а-нс, - 8(2-c,+t,)-"~2:--4"""7!--"

(4.45)

Очевидно, что для получения формул дисперсии флуктуации следуег в выписанных соотношениях для б положить i;, = t;2=C-После выкладок получим для С < 1

< и\ (г) > = При С > 1 имеем

< «f (2) > =

(4.46)

(4.47)

Результаты вычисления безразмерной дисперсии

е = 16it2ftS22/-2D-" < til >

представлены ниже.

С о 0.1 0,2 0,5 0.75 0,85

U 1 0,7005 0,5385 0911 0,2103 0,1934

С I 2 3 5 10 20

е 0,1760 О 1137 0.0844 0.0559 0.0303 0,0159

0,1760 100

0,0023

Безразмерная дисперсия 6 с ростом Z, моиотонио убывает. При г/е~ 10 и более дисперсия несущественна, при этих значениях g функция м(г) достаточно гладка, среда ведет себя как однородно-анизотропная, что и может служить критерием применимости формул (4.33) и (4.36).

Дисперсия производной поля

Исследование дисперсии производной поля можно проводить двумя способами. Во-первых, можно рассмотреть дисперсию разностного отнощения, необходимого для теории градиент-зонда, а затем перейти к пределу. Во-вторых, вычислить непосредственную дисперсию ди\/Ьг. Оставив первый путь для изучения иеидеального градиент-зонда, обратимся ко второму. Дифференцируя (4.44) по 2i и 22 и перейдя к пределу при 21 = 23 = 2, получим после преобразований

Яг (2, 2) = <

> =

А (С).

где при С< 1 функция Л (С), имеет вил

При С > 1 имеем другую формулу

Л{1.)-2+з1. 41Г+2) +»"-•

Результаты вычислений безразмерной дисперсии производной поля Aft;) представлены ниже.

(4.48)

(4.49)

(4.50)