Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [ 69 ] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

я зафиксируем связь лагранжевый и эйлеровой скоростей

V(x, /) = wtX(x. О, /. (94)

Последняя формула означает, что транспортируемая потоком, плывущая по течению жидкая частица в каждый момент времени имеет скорость той точки потока, в которой она в этот момент находится. Отсюда очевидно, что если поле эйлеровой скорости стационарно н однородно, то среднее значение лагранжевой скорости постоянно.

Введем в рассмотрение корреляционный тензор лагранжевой скорости

В« (X, /„ ) = < V, Я t,} v; (х, /.)> . <9-2

Здесь индексом (L) отмечена «лагранжевость> корреляционного тензора Вц; моменты времени ti и f\ удовлетворяют неравенству h>ii> ia, а флуктуация V, определяется так

v; (х, /) = V, (х. /) - <Vi{x, t) >. (9.13)

Иными словами, тензор Вц является корреляцией компонент скорости одной и той же частицы в разные моменты времени /з н / прн условии, 410 в момент времени /о частица находилась в точке х. Прн/г = , =/ формула (9.12) определяет корреляции компонент в один и тот же момент времени

B\Y {X, t) = <Vi (X, i) Vi(x, /)>. (9.14)

При l = j компоненты B являются дисперсиями компонент лагранжевой скорости, при t Ф j- их взаимными корреляциями. Сравнив (9.14) с (9.11) и (9.13), легко убедиться, что тензор (9.14) совпадает с аналогичной характеристикой эйлерового поля ско. ростей

&h\x, U)=Bii(x,U).

Отметим еше одно важное свойство тензора S"->. Если полеэйле. ровой скорости не зависит от времени и статистически однородно по

пространству, тензор Bf- не зависит от х, а поскольку V (Г, /)

будет стационарной функцией времени, тензор S"-> можно представить в виде

fii? = fi,t(i-/i). (9.15)

Поскольку SlP (0) =s Bii (0), тензор корреляций лагранжевой скорости можно пронормировать и записать в виде

Bi/- =lfi«(0)fi„ (О)!" Rti (h-h). I9.I6)

Удобной характеристикой быстроты затухания корреляций являются лагранжевы времена корреляции

T, = j R\>(s)ds. (9.17)

Так как эти вреиа для f= I, 2, 3 могут быть различными, говоря далее о лагранжевом временном масштабе Г, будем иметь в виду наибольшее из Г,.

Описав в рамках корреляционной теории лагранжево поле скоростей, перейдем к аналогичному описанию перемещений жидкой частицы, переносимой потоком. Пусть в момент to положение частицы

определяется вектором х. Тогда в момент Гп + т она окажется в точке

Х(л./o + t), а ее смешение за время t - вектор Yit) = X(x, to+

- X в соответствии с (9.10) имеет вид

V(t)= J Vix, t)di. (9.18)

Для среднего смешения из (9-18) имеем

<V()> = J <V{x,t)>di (9.19)

и, следовательно, для однородных полей эйлеровой скорости при <V> = <(Г> =«.

<К(-с)> =«01. (9.20)

Из (9 18) и (9.19) следует формула для флуктуации смешения

-. - "+ - -

К(1) = К(х)-<У(х)>. К(т)= I V(x,()dt. (9.21)

Введем в рассмотрение корреляционный тензор вектора смещений D„<)= <K,(t)K,(x)> (9.22)

Этот тензор, называемый обычно тензором дисперсии смешений жидкой частицы [21], при помощи (9.21) представим в виде

0(, (х)= I I <Vi(x. t,)V,(x, h)>dtidt, (9.23)

или, используя (9.12) и (9.1&), запишем

Diiix) = \Ви(0} fi,/(0)li« J ТRf (h--ty)dUdU. (9.24)

Ввооя новые переменные & = tz - Л, = (i + а)/2, выполнив интегрирование по получим формулу Бэтчелора [211

А/ (t; = Ifi» (0) Bi, (0)]" J - s) I <s) + (S)\ds. (9.25)

При / = / из (9.25) имеем

D„ (х) = 2Ви (0) I {x~s} Rh (s) ds. (9.26)

Ддя малых т, для которых допустимо считать 1,из (9.26) следует

Он (t) = Ви (0) т. (9.27)

Предполагая, что i?"- (т) О при t -v со настолько быстро, что помимо конечности лагранжевых времен корреляции Tt конечен интеграл

bi=l sR\(s)ds- (.28)

При t 2> Tj из (9.26) получим асимптотическое представление

D„- (X) = 2fi,4 (0) (Т,х - Bi). (9.29)

При X 3> Sf/T"; формулу (9.29) запишем в виде

Da(x) = 2Ви(0)Т. (9.30)

Таким образом, зависимость дисперсии смещения от i при малых X квадратична, а при больших х линейна. Как указано в [21], если функция i?Sf неотрицательна при любых значениях s, форма этой ({фикции слабо влияет на зависимость Du от х. Асимптотические формулы (9.27) н (9.30) достаточно хорошо выполняются при следующих условиях; xTi - для случая малых х и, соответственно х>5Т{ - для больших t.

Итак, дисперсия смещений жидкой частицы за достаточно большое время пропорциональна дисперсии эйлеровой скорости Si, (0), лагранжевому времени корреляции Ti и времени блуждания. Среднее смещение частицы пропорционально средней эйлеровой скорости и времени блуждания. Таковы результаты анализа первых двух моментов вектора случайных смещений жидкой частицы. Для того чтобы использовать эти моменты для количественных оценок, необходимо указать способ определения лагранжевых времен корреляции Tt по информации об эйлеровом поле скоростей. К сожалению, этот вопрос практически ие изучен, нет надежных экспериментальных данных, ие имеется адекватной теории. Аналогичная ситуация в теории турбулентности описана в работе [21]. Констатируя отсутствие эффективных методов измерения лагранжевых статистических характеристик турбулентности, авторы приводят метод Ламли, дающий в принципе возможность найти моменты лагранжевых характеристик в виде бесконечного ряда по степеням (/ - ia), коэффициентами в котором являются громоздкие комбинации эйлеровых одноточечных характеристик. Однако сложность метода Ламли не позволила построить разложение высокого порядка, вычисленные же члены до порядка (/ - /о)* дают представление о лагранжевых характеристиках 214