Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

а 02, отклонение которой от а характеризует погрешность основного функционального уравнения. Анализ таблицы показывает, что при достаточно больших з эта погрешность незначительна.

таблица и

0.0730 0.2459

о = 0.01 0.0640 0.0550

0.3357

ftOI79 0,025

0.4387 0,0241

о = 0,1

Результаты расчетов эффективной проводимости сравнивались с результатами численного моделирования неоднородной среды. С этой целью в квадрате, покрытом разностной сеткой 40x40. случайным образом генерировались реализации неоднородного поля, проводимость которого равна единице, с элементарными включениями проводимости а, концентрация которых равна Р. Значения проводимости в соседних ячейках независимы. Решая соответствующую краевую разностную задачу для генерированного поля, вычисляли эффективную проводимость. Этот процесс повторялся несколько раз. Результаты расчетов отмечены на рис. 20. 21 крестиками. Кривая 2 получена при расчете по формулам (6.66). Учитывая некоторое различие в постановке задач (дискретное и непрерывное поле, конечная и бесконечная области, различие в форме включений и т. д.). результаты сопоставления следует считать удовлетворительными, тем более для случая (Т= = 0.25. Здесь же на рисунках приведены <а>. <о">-и их полусумма в зависимости от (I-Р). При этом в случае о"0,25

Рис. 20. Зависимость эффективной проводимости а" or кокиентрацин ннэио-проводйшей компоненты (1 - Р) прн

Г= 0,25.

) - < s > : 2 - pscufT по (6,66); 3 -

О 0,2.! 1~Р

Рис. 21- Зависимость эффективной про-волнмост» о* от кониентрвиии инэко-проводящей компоненты (I -f) прн о = 0.001.

I- < ч •>; 3-расчет по (6.66); S -

t < в > + < 3

не нанесена кривая [<а>-Ка->-Ч/2, поскольку она практически совпала с кривой 2. полученной в настоящей работе, а при

0=0,001 не нанесена кривая <о">-, поскольку она почти во всем интервале близка к оси абсцисс.

Можно видеть, что оценки эффективной проводимости с помощью средних арифметических, гармонических или их полусуммы приемлемы лишь для достаточно слабой неоднородности.

Переходя к анализу анизотропных полей, запишем соотношения (6.34) и (6 35) в виде

р deh

Я. = -т-

(6.71) (6.72)

где del и и del о* означает определитель тензоров з и а*.

Если существует положительная константа а/р, для которой локально-анизотропные поля о и о эквивалентны по статистическим распределениям, то эффективные проводимости исходной и штрихованной систем тождественны, из (6.72) имеем точное равенство

del = а/Р-

(6.73)

Если же эффективньге проводимосги изотропны, то точно определяется

(6.74)

Перейдем к рассмотрению конкретных систем.

1. Пусть плоская система содержит однородные включения двух типов, тензоры проводимости которьгх «1 и б2=лз, где п-произвольное положительное число.

Выбрав a/3 = rtdet6, найдем, что в исходной и штрихованной системах проводимости во включениях поменялись местами. Соответственно изменились и концентрации включений. Если концентрации одинаковы (/=1/2) и система такова, что эффективные проводимости исходной н штрихованной систем совпадают, то нз (6.73) следует

deto, = ndetoi, (6.75)

или иначе

deter. = (detoi detos)/2. (6.76)

Если РФ 1/2, в штрихованной системе доля проводимости а\ будет равна (1-Р), и для систем с геометрией включений, независимой от их проводимости, из (6.72) получим

3, (\-Р) deto, (Р) = а„(Р) (deta, deia). (6.77)

Если включения изотропны, то Oj, = Uj,, = а,, noj = og, и для макроизотропных систем нз (6.76) и (6.77) следуют формулы (6.58). (6.60)-

К рассмотренным примерам близок следуюший случай. Пусть в однородной анизотропной плоской системе с главными проводимостями Oi и имеются включения двух типов. Главные проводимости первого Их и ау, второго ОхОу/чу и Qay/aji. Объемные доли включений одинаковы, а их расположение статистически эквивалентно. Приняв а/Э = 3j<j(„ получим из (6.71), что в штрихованной системе по сравнению с исходной проводимости во включениях поменялись местами, матрица осталась неизменной. Очевидно, эффективные проводимости исходной и штрихованной систем одинаковы и из (6.72) вытекает

det = 3,3. (6.78)

Если матрица изотропна а, = Oj, = а, включения изотропны и система в целом изотропна, из (6.78) имеем

= 3. (6.79)

Таким образом, внесение в однородную плоскую систему произвольных и равных долей геом*трически эквивалентных включений указанной структуры не меняет ее эффективной проводимости в случае ма крои зотроп ной системы и не меняет deta, в общем случае. В частности, при о,, = з„ = О из (6.78) и (6.79) следует, что непроводящие и идеально проводящие включения вносят в deto и в взаимно компенсирующиеся вклады.

Если Р-гфРз, то из (6.71) и (6.72) при сделанных предположениях о геометрии включений следует

=..(Рз, P2)det3, (Рг, Рэ) = о, (Р2. Рз)зЯ (6.80)

и если матрица, включения к система в целом изотропны

о. (Ра. Рэ)в,(Рз. Ра) =0. (6 81)