Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [ 81 ] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

краевую задачу, фиксирующую начальное распределение искомой функции а)=1(х) и распределение ее иа другой границе м{0, t)=4i(i). Такая задача с дополнительными условиями иа характеристиках называется обычно задачей Гурса н поставлена корректно, если начальное и краевое условия согласованы, т. е. ДО)=ф{0). Задачи такого типа нередко встречаются в теории сорбционных явлений.

Пусть, например, заданы условия

и (X, 0) = 0. и(0, О = ио (1 -е--), X > О (10.105)

очевидно согласованные, н при достаточно больших X приводящие в невозмущенной задаче к решению - «полочке», движущейся со скоростью y/ffio- Решение задачи (10.104), (10.105), полученное операционным методом, имеет вид

и(х, о = «оехр(--)}(1-е-) +

+ ° .- fexp-- /, °/ [l-e-<-"l4= . (10.106)

где / (2) - функция Бесселя первого рода первого порядка от мнимого аргумента.

Анализ соотношения (10.106) показывает, что профиль и(х, i) является пологой волной, крутизна которой со временем убывает. Для любых х>а и (>0 решение и(х, ()>0. Это означает, что хотя уравнение (10.104) гиперболического типа, малые возмущения, как и для линейных уравнений параболического типа, распространяются с бесконечной скоростью.

Так как уравнение (10.104) имеет первый порядок по времени, для него может быть поставлена начальная задача Коши, в которой фиксируется u(x, 0)=(л:). Можно показать, что при 1(х) = = qb(x) и 1>е решение такой задачи Стремится к решению уравнения (10.103). Таким образом, грубая локализация, заключающаяся в замене корреляционной функции ее дельтаобразным приближением, и в уточненном варианте, сохраняя дисперсионный механизм переноса, сопряжена с потерей эффекта конечности скорости распространения возмущений и регулярного сноса примеси против течения.

ПЕРЕНОС ПРИМЕСИ ПОЛЕМ СЛУЧАПНОП СКОРОСТИ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДЕ СО СЛУЧАЯНОП ПОРИСТОСТЬЮ

Ранее был изучен перенос примеси полем случайной скорости фильтрации в предположении постоянства коэффициента пористости. Затем был рассмотрен вариант процесса переноса в среде со случайной пористостью, но при этом скорость фильтрации считалась неслучайной. Рассмотрим теперь интересующий нас процесс переноса при совместном действии двух возмущающих факторов- случайного коэффициента пористости н скорости. Сначала 248

будет проанализировано одномерное модельное, а затем и многомерное течения. В случае многомерного течения случайность поля скорости фильтрации будет связана со случайностью поля проницаемости и, следовательно, фильтрационный перенос будет изучаться в средах со случайной пористостью и проницаемостью. При этом будет учтена возможная коррелированность этих полей. Вернемся к одномерной модельной задаче

dxldt = vim, X (0)= О (10.107)

и будем считать v и т случайными величинами.

Усреднив (10.107) и положив v=W + v, т то + т, If = = <и>. ограничимся учетом квадратичных по флуктуациям членов. Тогда

1 wm -rl. (10.108)

dt т„

\ "а = <vm>/VBAU.

Нетрудно видеть, что при равенстве коэффициента корреляции нулю в рамках принятого приближения формула (10.108) совпадает с (10.66), т, е., если v и т некоррелнрованы, увеличение средней скорости по сравнению с невозмушенной W/m целиком определяется флуктуациями пористости. Если же v » т коррели-роваиы, то эффект увеличения скорости зависит от знака у. Отрицательная корреляция усиливает эффект, положительная ослабляет. Физическая интерпретация достаточно очевидна: при отрицательной корреляции реализациям с пониженной пористостью соответствуют в среднем повышенные скорости фильтрации и, следовательно, существенно повышенные скорости фронтов. При положительной корреляции действует нивелирующий механизм. Прн определенных соотношениях (y/ffi = const) фронты во всех реализациях двигаются синхронно - нет дисперсии. Таким образом, при описании дисперсии примеси целесообразно учесть корреляцию скорости фильтрации и пористости.

Рассмотрим перенос прнмеси квазиодномерным потоком, средняя скорость которого постоянна, а флуктуации скорости являются Статистически однородным случайным полем. Будем полагать, что для локальных концентрации и фильтрационных переменных справедлива система уравнений

m~-fyvc=0, и = - з\7р, clivtJ = 0. (10.109)

Здесь т(х), а (х) - случайные поля пористости и проводимости,

функции вектора ;с=(д;, .... Хп); р - давление; v-вектор скорости фильтрации.

Представив поля т, а, v, с в виде

т = то + т, шо=</п>, з = jq + з, с:о = <о>. (10.110)

усредним первое уравнение из (10.109)

"о j,4- IVw = - <m> - <yvc>. (10.111)

Вычтя из первого уравнения (10.109) уравнение (10.1 И) и сохранив главные члены, получим

(10,112)

Дополнительные детерминированные условия, наложенные на с, отнесем к к, тогда соответствующие условия для с являются однородными и, следовательно,

ffl(2) ц у(2) Vz"(2, Т) dx, (10.113)

2 = X-lilmo (/ -т).

Подставив (10.113) в правую часть (10.111). после усреднения и преобразований получим нелокальное уравнение многомерного переноса

+ Г V« = М (;, 2) £fil£i)dx +

+ Й / (i. 2) Vz" (2. t) dT + у divJV (!«, 2") JapJU. dx +

, (10.114)

+ ул(, 2)-if---

}V(j:, 2) = <m (x)r? (2)>.

Предполагая, что поля a {x) н m (x) однородны и изотропны, что их взаимная корреляция также однородна, изотропна и стремится к нулю в бесконечности, легко при помощи найденных в

главе 5 корреляционных моментов подсчитать вектор N (х, х) для трехмерных и двумерных течений; для трехмерного поля

для двумерного поля

N{x, дг) = 1рЦ7КМоо.

(10.115)

(10.116)