Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Разложив теперь оба выражения в ряд по степеням С, легко обнаружить, uT(i расхождение начинается с коэффициентов при С*-

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Вычисление эффективных проводимостей на основании информации о структуре случайного поля представляет собой сложную задачу. Как было показано, получить ее точное решение удается в исключительных случаях. Затем будет рассмотрена возможность использования вариационных принципов для получения двусторонних оценок эффективных характеристик. Дальнейшее изложение в основном близко к [8, 37, 41].

Определяя скорость возрастания энтропии системы из соотношения

dS dl

dW, (6.253)

где S - энтропия; Т - температура; dW - элемент объема, примем, что для истинного распределения поля и потока выражение (6.253) минимально. Если процесс изотермический, то принцип минимального роста энтропии примет вид

bluhdWO. (6.254)

8j hahdW = 0. (6.255)

Здесь S - символ вариации функционала.

Варьирование в (6.255) нужно осуществлять при дополнительном

условии rot/1=0, при использовании потенциала р = гИ-\-Х варьированию подлежит X, При условии <Х> = 0. Поскольку минимальное значение интеграла (6.255) есть энергия, диссипируемая в макр)-скопнческом объеме W, равенству (6.255) соответствует неравенство

НаЙ < < hah> (6.256)

или подставляя в (6.256) h =• И - V, получим

На*И < < (/У - VX) а (/У - V) >. (6.257)

Выбором пробной функции \ можно получить различные оценки, f lyctb X = о, т. е. поле полагается равным среднему. Тогда из (6.257) с/1едует

НаН < < WeW>, (6.258)

>1ли

/У(з« <5>,W<0. (6.259)

Поскольку поле Н произвольно, тензор (з*- <в>) является

неположительно определенным, и в этом смысле следует понимать неравенство

о* < <о>. (6-260)

Если зафиксирована какая-либо система координат, то выбрав И направленным поочередно вдоль осей, можно получить неравенства

ац < <e,-i>- (6.261)

Отметим, что в принципе тензоры о* и <о> могут иметь разные главные оси и, следовательно, замечание в 8 о неравенствах (6.261) для главных значений, вообще говоря, неточно. Если система макро-и микроизотропна, т.е. с* и <о> - шаровые тензоры, из (6.259)

следует (6-262)

о* < <о>-

Запишем вариационный принцип (6.255) в эквивалентной форме

бу(з-)Г = 0, (6-263)

а варьируемый поток, поскольку div у = О, представим в виде

j=l/+V4. (6.264)

где <Ч> =0-

Аналогично (6-257) имеем

V(a*)-ii/< < (i/-j- v4)a-i (К + уГ)>- (6.265)

В простейшем варианте пробная функция - вектор v выбирается в виде V =V. Тогда из (6-265) следует

V (о*)- - (<о- > ) К < О- (6-266)

Поскольку поток V произволен, тензор (о*)- - <a-i> является неположительно определенным и в этом смысле следует трактниать неравенство

о* > <з->-- 6 267)

В сочетании с (6-260) имеем для =* двухстороннюю оценку

<в->- <а* < <з>- (6.268)

Этот широко известный результат, иитерпретируемыГ! обычно как предельная ситуация слоистой системы при продольном и поперечном движениях, устанавливает для о* довольно широкие Границы- Очевидно причиной этого является универсальность соотношения, использование только одноточечной информации при игнорировании сведений о геометрии среды- Поскольку оценки

(6.268) физически реализуемы, их улучшение для конкретных систем может быть связано с использованием информации об этих системах. Очевидно, что выбор полходяших пробных функций связан с такой информацией и сопряжен с сужением класса рассматриваемых полей. В работе [3] с этой целью используется Приближение метода возмушеннй и приводятся примеры улучшения Границ для эффективных параметров. Однако вычисления в этом случае связаны с информацией о трехточечных корреляциях. Для реальных сред измерения этих корреляций практически отсутствуют.

Идея использовать в качестве пробных функций приближенные решения, удовлетворяюшие необходимым ограничениям, реализована во многих работах. В первую очередь, это работа [41]. Обосновав специальный вариационный принцип, ее авторы во многих случаях получили для эффективных параметров границы более узкие, чем (6.268). Позднее Р. Хиллом [37] было доказано, что вариационный принцип Хашниа-Штрикмана для задач теории упругости эквивалентен принципам минимума потенциальной и дополнительной энергии. Эквивалентность следует понимать как взаимную выводимость принципов. Для задач переноса принцип Хашина-Штрикмана [41] эквивалентен принципу минимума диссипации Энергии. Точное решение соответствуюшнх задач одновременно минимизирует как функционал Хашина-Штрикмана. так и энергетический функционал.

Если в качестве пробной функции использовать приближенное решение, вариационный подход позволяет указать границы для эффективных параметров тем более узкие, чем выше качество приближенного решения. Поэтому естественной выглядит процедура использования приближенных решений метода перенормировок [37], в частности сингулярного приближения. В этих работах показано, что именно сингулярное приближение вектора поляризации фактически использовано Хашиным и Штрикманом при получении Границ для эффективных характеристик. Заметим, что использование более высоких приближений, хотя в принципе и должно Приводить к сужению «вилки», образованной границами, сопряжено с заданием многоточечных корреляций, информация о которых обычно отсутствует. По-видимому, уместно сделать следующее замечание. Использование в качестве пробных функций некоторых приближенных решений в значительной степени неявно Предполагает, что они представляют собой определенный класс функций, так или иначе связанный с основным полем о. Фактически решается задача оптимизации функционала, когда варьируемые функции Принадлежат некоторому классу, который обычно нечетко определен. Естественно, что решение, т. е. границы, найденные в результате оптимизации функционала, зависят от выбора класса пробных функций. Именно поэтому несколько затруднительна трактовка результатов при использовании вариационных методов. Абсолютное значение имеет только «вилка» (6.268), ио она. как известно, обычно довольно широка. Как пра-(66