Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [ 85 ] 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Учитывая теперь, что согласно (10.148)

lib С I rt

---~ 6,л:-х) ~<?,.,(с), (10.153)

имеем окончательно

dfv Р,., (С) е(/М <Р<-АЙ -- ~д-х---т--

Р,., (с)), о = й [Со (X) - с]. (10-154)

Таким образом, если процесс у(/) является гауссовым и дельта-коррелированным, плотность вероятности концентрации, параметрически зависящая от х и /, удовлетворяет уравнению теплопроводности с конвективным членом. Из (10,154) следует, что средняя концентрация

и = JcP(c)rfc (10.155)

удовлетворяет такому же уравнению

" - + 0 = (10.156)

с дополнительным условием и (х, 0) = со (х).

Имеет смысл заметить, что уравнения для плотности вероятности (10.154) и средней концентрации (10.156) являются параболическими и, следовательно, возмущения плотности и средней концентрации распространяются с бесконечной скоростью. Это становится понятным, если учесть, что при выводе данных уравнений мы предполагали, что процесс v{i) является гауссовым и дельта-коррелированным и, следовательно, скорости переноса могут быть неограниченными по величине.

Легко убедиться, что точное уравнение (10.156) и уравнение (10.18), полученные методом возмущений прн условии дел ьта-кор релированности скорости, полностью совпадают, что конечно является важным доводом, свидетельствующим об эффективности метода возмущений.

Как показано в [13J, рассмотрение дисперсии нейтральной примеси в случае нескольких пространственных переменных также позволяет получить уравнение для плотности вероятности, подобное (10.156), При этом расщепление корреляций и локализация уравнения достижимы при условии, что поле скорости является гауссовым в пространстве всех переменных и дельта-коррелированным по времени. Очевидно, последнее требование, естественное для задач дисперсии в турбулентных потоках, в нашем случае неприемлемо, поскольку в фильтрационных задачах стохастич-ность порождена независимой от времени гетерогенностью пористой среды.

При выводе уравнения (10.156) для средней концентрации было использовано уравнение (10.154) для плотности вероятности концентрации, полученное при достаточно ограничительных условиях гауссовости и дельта-коррелированности случайной скорости v{t),

Следуя [13], покажем, что уравнение для средней концентрации можно получить, используя только гауссовость v{t), если подвергнуть усреднению непосредственно стохастическое уравнение переноса (10.142) или несколько более общее уравнение переноса с диффузией

дс dt

где к-неслучайный постоянный коэффициент диффузии. Усреднив (10,157), получим уравнение

ди , ди

(10.157)

(10.158)

Теперь, считая, что v(t) - гауссов процесс с корреляционной функцией В(с) и использовав формулу Фурутцу - Новикова (10.139). запишем

<v (О c{x,t)>=B{t-x)< Щ>йх.

(10.159)

Учитывая, что решение исходного стохастического уравнения (10.157) можно представить в виде

с (X, о = t

(10.160)

вариационную производную из (10.159) запишем так

Ьс{х. I)

8с (т)

т т

.1, t>x.

m дх

Подставив (10.161) и (10.159) е (10.158). получим

dt +"-лг =

2

Таким образом, в эффективный коэффициент дисперсии

(10.161)

(10.162)

(10.163>

аддитивно входят коэффициент «молекулярной» диффузии и зависящий от времени коэффициент фильтрационной дисперсии

Очевидно, что если у(/)-дельта-коррелированный процесс, а х = 0. формула (10.163) переходит в (10.156). Определим время корреляции процесса v (£) по формуле

(10.164) 261

Тогда при уравнение для средней концентрации имеет внд

ди , ди

т

(10.165)

Естественно, что прн фильтрационная дисперсия несущест-

венна, доминирует «молекулярная диффузия». Напротив, в другом предельном случае бесконечного времени корреляции, например при

В(т)=В(0), Hi (10,163) имеем

4= + (10.166)

и, следовательно, при достаточно больших t фильтрационная дисперсия будет определяющей в механизме рассеяния примеси.

Последний результат, кстати, точный при предположении гауссовости скорости, имеет смысл сравнить с локализованным уравнением (10,18), полученным методом возмущений. Положив для этого в (10.166) и (10,162) параметр х = 0, приходим к выводу, что локализованное уравнение является достаточно грубым приближением в случае больших времен корреляции.

Интересно отметить, что в одномерной задаче механизмы фильтрационной дисперсии и молекулярной диффузии «действуют», т. е, входят в уравнения аддитивно, что не исключает их взаимного влияния, поскольку формально решение задачи нелинейно зависит от эффективного коэффициента дисперсии к.. В случае неодномерного течения взаимодействие упомянутых механизмов представляется более сложным. Рассмотрим достаточно нерегулярную по проницаемости среду. Поле скоростей фильтрации в такой среде «разбалтывает» поле концентрации примеси или насыщенности, делая его нерегулярным, С другой стороны, диффузионный процесс или капиллярные силы (во втором случае) стремятся сгладить, размазать «языки». Очевидно, чем более нерегулярна среда и, следовательно, поле скоростей, тем больше возможностей для проявления диссипативных процессов (диффузии или капиллярности). Можно считать, что фильтрационная дисперсия усиливает проявления диссипативного процесса. С другой стороны, диффузионный или капиллярный механизм ослабляет процесс фильтрационной дисперсии, «стаскивая» примесь или соответствующую жидкую фазу с наиболее быстрых траекторий, т. е. в определенной степени препятствуя росту языков.

Метол функционалов дает возможность рассмотреть и случай дисперсии активной примеси, приводящий к квазилипеЙ1Юму и даже нелинейному стохастическому уравнению переноса. Для этого, например, в случае квазилинейного уравнения переноса записывается уравнение Лиувилля для совместной плотности кониентрацин и градиента кониентрацин. Это уравнение хотя и является линейным относительно плотности, но в отличие от случая дисперсии нейтральной примеси отличается по виду от исходного стохастического уравнения, поскольку содержит не только производные плотности, но также и саму плотность. Однако и в этом случае