Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [ 34 ] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

в виде ряда по некоторому параметру - возмущению, трактуемому в настояшее время достаточно широко. Основная проблема заключается в суммировании полученного ряда, осуществить которое полностью, как правило, не удается. Поэтому приходится ограничиваться тем или иным приближением.

Вероятно, впервые метод возмущений для определения эффективных характеристик неоднородной среды применили И. М. Лиф-шиц и л. Н. Розенцвейг [19]. изучавшие напряженное состояние случайных упругих поликристаллических структур. Оборвав ряд возмущений иа члене, учитывающем парные корреляции флуктуации упругих модулей, они вычислили эффективные модули упругости в так называемом корреляционном приближении. Позже в этом приближении были решены многие задачи по определению эффективных параметров.

Попытки суммирования всего ряда теории возмущений, или по крайней мере ускорения его сходимости, связаны с методом перенормировок, развитым в квантовой теории поля. Здесь уместно отметить работу [28], где изложены результаты Буре, В. И. Татарского и Герценштейиа, рассматривавших процесс распространения волн в средах со случайными неоднородностями. Эффективность метода перенормировок возросла с использованием предложенного В. М. Финкельбергом разделения многочастичных взаимодействий на локальные и нелокальные. Фактически это эквивалентно выделению в каждом члене ряда возмущений некоторой его части, ответственной за взаимодействие определенного рода, и последующему суммированию всех членов такого типа. S»tot подход получивший в работах Т. Д. Шермергора [37] и Г. А. Фокина [33 название сингулярного приближения, позволил авторам рассмотреть многие задачи теории упругости микроиеоднородных сред, определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных диэлектриков. Было установлено, что аналогичные результаты можно получить без выписывания ряда возмущений, если отделить сингулярную и формальную производные функции Грина в основном функциональном уравнении. Это приближение, получившее название обобщенного сингулярного приближения в комбинации с модификацией метода перенормировок, позволило установить общность многих приближенных результатов, в частности метода самосогласования, метода изучения «сильно изотропных> сред. Была выяснена связь сингулярного приближения с методами построения вариационных границ для эффективных характеристик.

К описываемым методам близок метод приближенного суммирования ряда возмущений, выписанного для Фурье-амплитуд флуктуирующих полей. Этот подход, использованный Херрингом, развит В. А. Кудиновым и Б. Я. Мойжесом [16].

Уместно отметить, что в близких в идейном отношении задачах распространения волн в средах со случайными неоднородностями развиваются методы суммирования рядов возмущений с помощью диаграммной техники Фейнмаиа [31].

в некоторых частных случаях известны точные решения задачи определения эффект ивных параметров систе\. В первую очередь Это одномерные (слоистые) структуры, для которых продольная эффективная проводимость (вдоль слоев) а = <о>, а поперечная o-j = <о~>-. Замечателен результат, полученный А. М. Дыхне [9]. Им доказано, что если плоская изотропная система, покрытая подобластями различной проводимости ст, и ог таким образом, что подобласти в среднем геометрически эквивалентны (отличие только в проводнмостях), то эффективная проводимость системы з (р), где р - доля областей проводимости а,, удовлетворяет функциональному уравнению

а* (р)о (1 -р) = 0102. (6.13)

Отсюда следует, что при р= 1/2 эффективная проводимость

• = У7. (6.14)

А. М. Дыхне рассмотрел также случай, когда распределение к=1по -<1по> является четной функцией %. И в этом случае получено точное значение эффективной проводимости

з = ехр <1п а>. (6.15)

Развитие численных методов и применение современных ЭВМ сделало возможным определение эффективных параметров с помощью прямого математического эксперимента. В этом случае рассматриваются поля достаточно простой структуры, моделируются реализации неоднородного по проводимости поля и для каждой из них решается численно краевая задача. Полученные результаты усредняются и вычисляется эффективная проводимость. Естественно, что такой путь сопряжен с рассмотрением лишь частных задач, весьма трудоемких, однако прн достаточно малом по сравнению с размерами области масштабе корреляции дает возможность получить эффективную проводимость сильно неоднородных систем. В последнее время в связи с развитием методов теории протекания в физике твердого тела [38] решен численно целый ряд задач определения эффективной проводимости неоднородных плоских и пространственных решетчатых структур. Эти результаты, кстати, прекрасно коррелированные с теорией самосогласованного поля, частично приводятся в обзорах Эллиотта, Крумхансла, Лиса, Киркпатрика [321.

Специфические интересы теории протекания связаны с изменением свойств неоднородных систем в окрестности точки фазового перехода «проводник - изолятор», изучением топологии проводящих и непроводящих областей - кластеров. Понятия и методы теории протекания важны для изучения фильтрации ие-смешивающихся жидкостей в окрестности критических насышен-ностей, для которых характерно разрушение бесконечного кластера одной из жидких фаз.

Задача о вычислении эффективных характеристик неоднородных сред допускает и вариационную формулировку. В различных задачах физическое содержание вариационного принципа может

быть разным, математические формулировки идентичны. В задачах переноса, в том числе фильтрационного, используется принцип минимального роста энтропии системы или, что то же самое, минимальной диссипации энергии, В задачах теории упругости это Принцип минимума потенциальной и дополнительной энергии. В несколько необычной форме записан вариационный принцип, предложенный Л. Хашиным и С. Штрикманом [4lJ, однако доказано, что этот Принцип эквивалентен фундаментальным энергетическим Принципам в том смысле, что эти принципы взаимно выводимы [37],

Вариационные Принципы позволяют поставить задачу об определении границ, внутри которых заключены эффективные характеристики систем определенного класса, иными словами, построить «вилку» для точного значения эффективной характеристики. Очевидно, вилка будет тем уже, чем больше информации о рассматриваемой системе, а точнее о классе систем, к которому она Принадлежит, будет использовано при построении Границ. Так, если не ограничивать класс рассматриваемых систем, т. е, не использовать никакой дополнительной информации, вариационные Границы дают универсальную вилку: эффективная проводимость любой среды заключена между средней гармонической и средней арифметической проводимостями. Эта вилка, по-видимому, впервые была установлена Винером [43],

Поскольку существует физическая система (слоистая структура), для которой универсальные границы реализуются, сузить такую вилку можно только при помощи дополнительной информации о конкретной системе. Например, используя трехточечные корреляционные моменты проводимости, М. Дж. Беран, Миллер [3] Строят границы, лежащие внутри универсальной вилки. Значительный интерес представляет собой вилка Хашина - Штрик-мана [41] для эффективных проводимостей макроскопически и микроскопически изотропных многофазных систем. Эта вилка Привлекательна тем, что в определенных ситуациях она значительно уже универсальной вилки, однако остается открытым вопрос о возможности ее сужения для случая трех измерений без привлечения дополнительной информации, поскольку не выяснено, существуют ли изотропные пространственные системы, эффективные характеристики которых совпадают с границами Хашина - Штрикмана.

В последнее время интенсивно развиваются исследования, в которых вопрос об определении эффективных характеристик неоднородных Сред формулируется в терминах теории усреднения дифференциальных операторов [И]. Приведем пример подобного подхода.

Рассмотрим в ограниченной области D с границей 5 задачу Дирихле /1(u) = vl() V«l = /, xD. (6.16)

где функция <i{x) в зависимости от вида микроструктуры может быть периодической, квазипериодической или случайной, стохастически однородной функцией координат.