Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Для инварианта Нч получим ту же формулу, что и в случае изотропного поля. Hi = DalZkl. Хотя инвариант тензора не изменился, соотношение между 2 и уменьшилось примерно вдвое за счет роста и Иными словами, даже такая слабая анизотропия, как в случае е, = г. приводит к относительному выравниванию дисперсии компонент градиента давления.

Из формул (5.56) легко получить соответствующие формулы для плоских и одномерных полей. Так, положив в них 53 =со, легко выписать дисперсии компонент градиента давления плоского поля, расположенного в плоскости Х\Х2

2arctg - -

-2 I 2

22 Dl

*1 +2

Предположив и в этом случае t\ = t2 = s, найдем 1= Dafeo* 0.34; Hf = Оа*Г-0,16.

22 U1 °]2 ,r ry.

Инвариант j и в этом случае имеет вид = Da-jlkn- И, наконец, из формул (5.57) получим формулу для одномерного течения вдоль оси Х\. Положив е2 = со, найдем г= Ол/*о, т. е. дисперсия градиента давления в отличие от случая пространства и плоскости не зависит от масштаба корреляции. Уместно сделать следующее замечание. При постановке задачи о поле гидродинамического давления было принято дополнительное условие, фиксирующее значение среднего градиента давления v/o, при этом давление разыскивалось в виде ряда (5.6), для членов которого по построению вытекало условие <р(> = О при /= 1, 2, ... Возможна и другая постановка задачи. Пусть в качестве дополнительного условия фиксируется средняя скорость течения Уо- Тогда давление надо искать в виде ряда (5.6), но при этом под ро понимать функцию, определенную равенством Vpo = - Uou-Ajf.

Если поле средней скорости tio не имеет источников, а именно .WOT случай достаточно интересен, ро удовлетворяет невозмущениому уравнению, а для р, прн ( = I, ... можно написать уравнения (5.7) с соответствующими условиями на бесконечности. Существенным отличием будет то, что при новой постановке задачи для всех р„ за исключением р,, выполняется условие < pi > 0. Поэтому, считая возмущение достаточно малым, можно ограничиться приближением

р() = ро (/")-f р[ (/). Отсюда следует, что все корреляции, вычисленные ранее, сохраняются и в случае задания Уо в тем отличием, что во всех формулах вместо dpojdxy необходимо подставить величину- При этом подразумевается, что вектор va и ось Х\ параллельны.

в заключение отметим, что приведениы?! анализ корреляций элементов гидродинамического поля был основан ка первом приближении метода возмущений, что, конечно, ограничивает рассмотрение случаем достаточно слабо флукту[[рующих полей. Мож-[Ю показать, что аналогичный анализ реалЕЕзуем в рамках теории самосогласованного поля, излагаемой в следующей главе, и прн-годЕЕОЙ для сильных флуктузцкй.

ВИХРЬ ПОЛЯ СКОРОСТИ ФИЛЬТРАЦИИ в СРЕДЕ СО СЛУЧАЙНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

ПрЕЕ ЕЕЗучеши! ь;инематики и динамики жидкостей и газов в порЕ[-стой среде в современно!] теорЕЕИ фильтрапЕИГ традиционен уровень рассмотрения, оперирующЕ1н с такими статистЕЕческимн понятиями, как скорость фильтрации, средЕ1се давление и т. д. При этом остаются вне рассмотрения чрезвЕлчайно нерегулярные характеристики движения жидких частиц в ие1де!ВЕ1дуалыЕЬЕх поровьЕХ ка-иала.ч. Под частицей при таком уровне усреднения следует подразумевать достаточно большую часть порового пространства, занятого жидкостью. Перемещение таких частиц в пространстве, вообще говоря, сопровождается и ил вращением. Следует оже1-дать, что механизм вращения жидких чзстиее в сушествеЕ1ной степени определяет характеристики переноса РЕримеси, транспортЕ1руе-мой потоком, и, следовательно, представляет интерес Е13учение вихря поля скорости фильтрации.

Заметим, что в исследованиях по теории фильтрации не при-Е1ЯТ0 изучать распределение вихрей, что, вероятно, связано с тем, что в наиболее изученном случае фильтрации однородной жидкости в однородной пористой среде вихрь скорости фильтрации равен Нулю. Кроме того, во многих задачах цель исследования - определеиЕ1е связи между потоком и давлением, для которой практически несущественны индивЕ1Дуальные деформации жидкеех частиц.

Далее в корреляционном пр1Еближеиии теории возмущенЕ1Й рассматривается поле вихря скорости фильтрации в среде со случаЕ1-1ЕЫМИ неоднородностями. Вычисляется корреляционный тензор вихря, корреляция вихря с полем проницаемости, циркуляция скорости для пространственных и плоских течений (36 .

Введем в рассмотрение вектор Й - вихрь поля скорости фильтрации а

Q=S7XV. (5.58)

Как известно, компоненты Q в среде с постоянное"! пористостью определяют угловые скорости собственного врашения жидких частиц относительно соответствующих осей.

Рассмотрим поле вихря квазиодиомерного стохастически однородного фильтрЗЕШОнного течения в среде со случайными неодио-

родностями. Легко убедиться, что <2>-средний вихрь такого течения равен нулю- Действительно.

<S> = vx<y>.

а так как <у> = уп = consl, то имеем <Q>=0.

Пусть среднее течение направлено вдоль оси Х]. Тогда

У = Уо + fI. <у1 > = fo = const, V2 = Vi, W3 = ca, <tJ2> =<Уз> = О, (5.59)

дрп , др.\ . , др. др.

дх, dxj} дх 3 дх

Подставив (5.59) в (5.58), получим

Таким образом, при фильтрации жидкие частицы (конечно, макрочастицы) не врашаются вокруг оси, направленной вдоль среднего течения.

Вычислим корреляционный тензор вектора вихря

Q"(n, гг)= <2, (Г,) ; (/-!)>. (5.61) Подставив в (5.61) соотношения (5.60), получим Ql =0. i=\, 2, 3,

дхдх.,г, dxidx. yvjf

Если К (г,, Г2) = Dtx[t\ - In-Г2\!а\ корреляции имеют вид = 2Cvh~ii-" [ 1 - 2xia-\

гсу-е-"- [1 -2лга--]. (5.63)

Q- = 4i:Voa-ii-"x2Xs. Из (5.63) для одноточечных корреляций вледует

/О О 0\

а" = 2С%па-Чо 1 О . (5.64)

\0 О 1/

При рассмотрении фильтрации в ередах во случайными неодно-ролностями будем считать внутренним временным масштабом nejie-носа величину Т = ат/Оо. Как видно из (5.64), внутренний времгп-