Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

а пробные поля Н имеют непрерывный потенциал и удовлетворяют условию < Н = И. Представив h в виде

Н = И+Н, <h>0, (6.3П)

запишем энергетический функционал (6.309) в форме

Е = со\РИ + 2Й < гЛ > + <hzh>\. (6.312)

Если Л - некоторое пробное поле, а >. = const, то по.пе ХЛ также может быть пробным, и, следовательно, параметр X можно выбрать

оптимально. Для этого в (6.312) вместо Л подставим ХЛ и продифференцируем функционал по X. Приравняв результат нулю, найдем оптимальное X

X Я < гН >/< 2/1= >.

(6.313)

Подставив найденное X в функционал, получим оптимальное значение энергетического функционала для данного класса пробных

полей Л

(Н <гН )=

(6.314)

Согласно вариационному принципу минимума диссипируемой энергии истинная средняя энергия не превосходит пробной, следовательно

о* < во

(Я <zh»»

И* <гЛ»>

(6.315)

Из (6.315) вытекает сразу, что при любом пробном поле Л имеем а* < ооР = <о> н для уточнения неравенства нужно класс пробных

полей связать с полем-индикатором г (г). С. Прагер 146] выбирает

поле h в классе линейных функционалов над полем г

(6.316)

где I* (р) - неслучайная весовая функция, варьируя которую, будем искать оптимум энергетического функционала (3 314). Нетрудно ви-

деть, что хотя поле-индикатор разрывно, поле ,t имеет непрерывный потенциал и, кроме того, </j(/-)> = 0. Таким образом, \юле (6.316) является ,iiiycrii\;b.i.

проводя стандартную процедуру варыфовання функционала (6.314) на полях (6.316). можно установить связь оптимальной весовой функции ц от двух-и трехточечных корреляционных моментов поля 2. Эта связь имеет вид интегрального уравнения Фредгольма первого рода и в принципе позволяет прн известных корреляциях найти оптимум энергии, а с ним и оценку для о*. К сожалению, отсутствие информации о трехточечных корреляциях не позволяет реализовать этот путь до конца. Выход заключается в дополнительном приближении, состоящем в том, что неравенство (6.315) усиливается, если провести замену <гН> = <Л">- Тогда

< "о

р {/i <гН»

(6.317)

Для минимизации энергетического функционала реимется соответствующее уравнение Эйлера - Лагранжа. находятся оптимальная

весовая функция ц, (р) = Яр/4лр. оптимальная энергия и. в конечном счете, оценка для эффективной проводимости

<=* < ооР(2 + РУЗ. (6.318)

Нетрудно убедиться, что эта оценка несколько выще верхней границы Хащина - Штрикмана.

Заверщая изложения вариационных методов, остановимся нэ применении метода Херринга (см. десятый раздел данной главы) для непосредственного получения вариационных оценок эффективных характеристик [16].

Определим эффективную проводимость о* из соотнощения

о* = £т1п/Я2, (6 3I9J

где в соответствии с (6.243). (6.244) и (6.245)

Е = ооЯ + 21]а .Л*Я + ооХЛ. + Е<.-.,ЧЛ-». (6.320)

Если вместо Л* подставить в (6.320) ряд (6.246). то в соответствии с вариационным принципом получим £min,

Подстановка любого другого допустимого разложения даст Е > > Emt„ и, следовательно, согласно (6.319) мы получим для а* оценку сверху 5+ > о*. Так, выбрав в качестве пробной функции выражение, Пропорциональное первому члену разложения (6.246)

Л*=й/(/Я)о*. (6.321)

и варьируя а для минимизации Е, авторы (16 получают

I <( -о) > J 1 , ,

(6.322) 177

Задав средний поток и использовав ту же процедуру, получим оценку снизу

Г Ро+Л/<(Р-Ро)> / 3

(6.323)

Итак, в1<а*<о!,. и, как доказано в [161, эта двусторонняя оценка полностью совпадает с оценкой М. Дж. Берана 3), полученной, как известно, при использовании в качестве пробных функций членов ряда возмущений. Как показано в 16, вариационные оценки 3+ и в в случае двух компонентной смеси точно совпадают с результатами, даваемыми формулами (6.248) и (6.249), т. е, приближенное суммирование ряда (6.247) дает оценку сверху, а соответствующего ряда при вычислении р* дает для о* оценку снизу.

Ограничиваясь на этом рассмотрением вариационных принципов, отметим в заключение их достоинства и недостатки. Вариационные оценки основаны на универсальных принципах и относительно просты при использовании минимальной информации о рассматриваемых системах, т. е. фактически при рассмотрении широкого класса объектов. Но в этом же и причина ограниченной эффективности вариационных оценок, поскольку широта класса приводит к широким «вилкам» для эффективной проводимости. Включение в анализ более детальной информации о специфических особенностях рассматриваемых конкретных систем резко увеличивает трудности, делая метод недостаточно конструктивным.

ГЛАВА 7

ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

ПРИ ФИЛЬТРАЦИОННОМ ПЕРЕНОСЕ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ В НЕОДНОРОДНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Различные и наиболее важные приложения теории фильтрации связаны с проблемой описания и гидродинамического анализа совместного движения нескольких жидкостей и газов в пористой среде. По установившейся традиции, не совсем точно с точки зрения термодинамики, различные жидкости или газы принято называть фазами, а их фильтрацию - многофазной. Принято также, конечно условно, подразделять фазы на смешивающиеся и несмешивагощиеся. Например, обычно считают, что водоиеф-тяные системы состоят из иесмешивающихся фаз - нефти и воды.

Описание процесса многофазной фильтрации методами механики сплошных сред - весьма сложная задача, поскольку многообразие форм сосуществования жидких фаз, их сильное