Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

вектор г. Если такое случайное поле статист 1тческн однородно (в широком смысле), его моменты первого и второго порядков инвариантны

относительно преобразования сдвига г-»-л-]-Лг, т.е.

<С(Г)> = <С(/+Дг)>. (М7)

/С: 7п. r2) = /Cc (П + Аг. Гг + дТ). (1.18)

а это означает, что <С (г) > = const, а корреляционная функция

зависит от г2~г\-Гг. но не от п н /"г в отдельности. Для однородного случайного поля

/С:(О = < ;(0)С (г,-0>. (1.19)

Дисперсия однородного случайного поля постоянна D[r]= const. Статистически однородные случайные поля, у которых /С; зависит

только от модуля (но не направления) вектора r = ri-г, называются статистически изотропными. Для статистически изотропных

полей С(О

а:с(0=а:с(г), г \г\. (1.20)

Очевидно, корреляционная функция изотропного поля -четная функция координат.

В приложениях для характеристики изотропных полей часто используют корреляционные функции

кип =о?ехр(-г/д), (1.21)

А:с(г) = 4ехр(-г>). (1.22)

Для аппроксимации эмпирических корреляционных функций, по мере затухания меняющих свой знак, используют выражения

/Сс (г) = Jcexp (-г/а) cosftr. (1.23)

Kq {Г) = ос ехр (- гУа) cos br. (1.24)

При Этом следует проверять, являются ли выбранные аппроксимации корреляционными ({фикциями, т.е. являются ли они положительно определенными. Некоторые подробности, связанные с этим, будут приведены далее при изложении основных фактов спектральной теории случайных полей. Полезной характеристикой случайного поля является так называемый эффективный масштаб а

а- =-iKi(r)dr, (1.25)

совпадающий по порядку величины с расстоянием, на протяжении которого еще сохраняется заметная корреляционная связь между значениями поля в двух точках. Для функции (1-21) эффективный масштаб а=а, для корреляции (1-22) а=.a\/iij2. 20

Корреляционная функция может обладать несколькими характерными масштабами. У статистически однородных, но анизотроп ных поле;! корреляционные функции зависят не только от модуля

вектора г =1-Гг, но и от его направления. Характерные масштабы, на Которых значения анизотропного случайного поля становятся некоррелированными, различны по разным направлениям. С примерами таких полей мы встретимся при рассмотрении фильтрационных течений в анизотропных средах.

Теоретически статистические характеристики случайных процессов и полей следует определять, усредняя нужные величины по всем реализациям процесса или поля. Практически же обычно при построении характеристик усреднение проводится по времени или по одной протяженной реализации поля. Для законности такого усреднения необходимо выполнение так называемого условия эргодичности. Суть его для случайных функций времени состоит в том. что для надежного определения средних интервал усреднения должен быть много больше, чем «время* корреляции, определяемое по формуле (1.25), где под К следует понимать корреляционную функцию случайного процесса.

Аналогично обстоит дело и в случае полей. Если ввести понятие объема корреляции, величина которого определяется как

то для замены теоретико-вероятностного усреднения усреднением по объему необходимы конечность объема корреляции и выбор объема усреднения, много большего объема корреляции.

Если случайное поле однородно в пространстве трех измерений, то оно однородно и на любой плоскости илн прямой. Поэтому усреднение по объему можно заменить в этом случае усреднением по площади или интервалу, принадлежащим соответствующим плоскостям или прямым при условии, что выполнены соответствующие условия эргодичности.

Спектры однородных случайных полей

Подобно тому как обычные детерминированные функции представляются суперпозицией гармоник в виде ряда или интеграла Фурье, однородные случайные поля представимы в виде интеграла Фурье - Стильтьеса

Здесь интеграл распространен по всему пространству волновых векторов X.

Пусть <С (г) > = О, где С - скалярное вещественное поле-такое, что

\\K)\dr<a. (1.27,

Тогда случайные амплитуды Л (*) волн е" обладают свойствами

йг (-%) dz{%), (1.28)

<rf?(7)>=0, (1.29)

<dz (X) rf? (х,) > = S (X - х) 0 (x) Jxrfx,. ( I .30)

Здесь черта над символом означает комплексную сопряженность:

В(х)-многомерная дельта-функция Днрана; Ф{%) - многомерная спектральная плотность или многомерный спектр.

Из (1.26) и (1.30) следует, что однородное случайное поле

и(г) можно аппроксимировать сколь угодно точно суммой некоррелированных между собой плоских волн различных длин и ориентации со случайными амплитудами и фазами. Из фор,чул вытекает, что

/С: (г) - i еФ(7)лГ. (1.31)

и. наоборот,

Ф{х) - (271)-" 5e-"-*/Cc(7)rf7! (1.32)

Здесь п = 1, 2, 3 соответственно для одномерных, двумерных и

трехмерных пространств, в которых определены векторы /их. Таким образом, спектральная плотность является трансформантой Фурье корреляционной функции, и наоборот-

Для того чтобы /С: (г) являлась корреляционной функцией некоторого случайного поля (однородного), необходима неотрицательность соответствующей спектральной плотности.

В случае многомерного однородного случайного поля

С(Г)=(С(Г). СМО, .... СмТ)}, <С(г)>=0, /=.!,....«.

С(Т= Ь/г/(. (1.33)

При этом

(fe/(-x)=(fe/(x). (1.34)

<г,-(ж)> =0, (1.35)

<dZ,{x)d2l (Ж)> =В(Х-X,)0,7(x)rfxrfx,, (1.36)

а КцС) = <J (х) С(х + 0 "~ взаимные корреляции компонент поля должны достаточно быстро убывать на бесконечности. Из (1.33) и (1.36) вытекает, что

(г) = i Фц (Т) л (1.37)