Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

учесть, что для запирания изотропной пространственной системы критическая коииентрация изолятора должна быть не менее k. однако противоречия здесь нет. В самом деле, для «пробоя» системы достаточно, чтобы в ней существовал хотя бы одни бесконечный кластер идеального проводника. Для запирания же системы существования бесконечного кластера изолятора недостаточно, нужно. Чтобы отсутствовали бесконечные кластеры проводника. Для этого, конечно, концентрация изолятора должна быть выше, чем концентрация проводника прн «пробое». Можно сказать, что «пробой» аналогичен порогу протекания системы нз чистого изолятора, в которую постепенно добавляют проводящий компонент.

В случае плоской задачи (трубчатая, или, как иногда говорят, волокнистая структура, ориентированная нормально к некоторой плоскости) имеем при п1=п5=1/2, Пэ = 0:

6* (Р) = [{I - 2Р) (V - I) + V(l - 2P)Mv - 1) + 4v]. (6.163)

Если 1 = 0. нз (6.163) получим

в(2Р-1), Р>\/2.

о* (Р)

о, р<т.

(6.164)

т.е. P=i/2-критическая концентрация - порог протекания. При ipaVotw из (6-163) имеем

°* С*) == 2=1 • > /2- <> = Р < 1/2, (6.165)

Легко видеть, что в этом случае порог протекания и критическая концентрация при «пробое» совпадают, так как иа плоскости и для «пробоя» и для запирания достаточно существования одного бесконечного кластера.

Из (6-163) следуют точные результаты А. М- Дыхне (9

б*(Р)б*(1 -Р)=б1о-, о* Of2) = V-

Кроме того, при Р/а точными оказываются средние потоки и ПОЛЯ в фазах, средние величины диссипируемой в фазах энергии- При Р>Чз решения (6.164) и (6.165) для включений - изолятора и идеального проводника удовлетворяют точному соотношению (6.37), т. е. их произведение равно (о)*. Можно показать, что и в общем случае произвольных а и решения системы уравнений (6.159) удовлетворяют точным соотношениям (6.36), связывающим эффективные проводимости исходной и дополнительной плоских систем. Для этого, не решая системы, следует в нее подстэЕить соотношения (6.36) и перейти к новой системе уравнений для эффективных проводимостей дополнительной среды. Нетрудно убедиться, что эта среда содержит, в отличие от исходной, вместо второй компоненты включения проводимости (o)V<. что и Доказывает высказанное утверждение.

Легко понять, что соотношения теории самосогласованного поля можно применять не только для стохастических сред. Так,

например, если включения размешен1 регулярно и образуют периодическую структуру, можно оценить ее эффективную проводимость, заменив включения подходящим образом подобранными эллипсоидами. А так как для некоторых периодических структур известны точные значения эффективной проводимости, можно оценить с их помощью качество приближенных зависимостей.

В работе [18] приведены точные значения эффективной проводимости плоской периодической структуры, ячейкой которой является квадрат единичной проводимости, внутри которого в свою очередь находится квадрат проводимости v. Внутренний квадрат ориентирован параллельно внещнему, центры их совпадают, а отнощение сторон составляет 1:3. В табл. 15 для различных v приводятся точные значения эффективной проводимости периодической структуры о*, приближенные значения oj подсчитанные по формуле (6.163), а также ац, полученные при помощи приближений малой концентрации (6.105).

ТДБЛИиД l.-i

Легко убедиться, что оба приближения близки к точным значениям, что, конечно, в первую очередь связано с малой концентрацией и изолированностью включений.

Рассмотрим случай, когда эллипсоиды - включения произвольно ориентированы в пространстве. Свяжем индивидуальный эллипсоид с лабораторной системой координат положение которой относительно основной системы х. определим тремя углами Эйлера а, Р. 7. Пусть поле на бесконечности в основной системе

имеет вид №.. Это же поле в лабораторной системе координат

имеет вид Н *АН, где Л=Л(се, р, т ) - матрица перехода от основного базиса к лабораторному

I - cos"[ cos 3 si п а - cos"[ si п 3

- sin т cos al

lC05 a cos P COS-J -

-sin T sin a\

i sin 7 cos 3 cos a -f -I- COST sin a - sin p cos a

sin 1 sin 3

COS0

I- sin -[COS 3 sin a -f -b cos cos a sin 1 sin 3

В лабораторной системе координат поле внутри эллипсоида

Н* = (.АН. Переходя к основному базису, получим = Л-С>Я

или, усреднив это поле и приравняв Н, получим матричное уравнение, обобщающее (6.157)

< А-КА > - Е = 0. (6.166)

Если углы Эйлера распределены равномерно, эффективная среда будет изотропной, и для oпpeдej[eиия о* из (6.166) имеем уравнение

£ <С» > =3. (6.167)

Пусть система иеоднородностей лвухкомпонеитна. Тогда (6.167) Примет вид

РФ(з*, (\ - Р)ф(с*, а2)=0, (6.168)

П; (а - о) +ч,-(=-а )

Для соответствукйцей плоской задачи, т.е. трубчатой структуры из параллельных третьей оси эллиптических цилиндров, имеем

из = < а >, О] = а? = о*,

где и* - решение уравнения (6.168), в котором П/ определены из соотношений (6.99).

Для иллюстрации метода приведем результаты расчетов некоторых частных случаев. На рис. 29, 30, 31 показаны зависимости компонентов тензора эффективной проводимости двухфазной системы от концентрации высокопроводящей фазы, проводимость которой Принята равной единице. Проводимость другой фазы в этом и Других, рассмотренных далее случаях составляет v=10~ Система представлена совокупностью одинаково ориентированных бесконечных эллиптических цилиндров, отношение осей эллипсов- поперечных сечений цилиндров равно а2/щ=1, 10", 10" где at - длина (-й оси эллипса. Хотя v¥=0, на графиках достаточно четко отмечаются особенности - пороги протекания. Так, например, в случае аг/а1 = 10 для проводимости вдоль первой оси порог Pi близок к 0,4, для второй оси 2 = 0,6. На рис. 32, 33, 34 аналогичные зависимости даны для систем, включения в которых Представляют собой вытянутые вдоль первой оси эллипсоиды вращения с отношением осей а2/а1 = аз/а,=0,5; 10~; 10~ Очевидно, такие системы в плоскости (2.3) изотропны. Пороги протекаиия При аг/11=10- в этом случае составляют Pi = 0,2, Рг=/*з«0,4. Если включения-сплкхнутые вдоль первой оси эллипсоиды Вращения, отношения осей аг/й1 = йз/а = 1, 2, 10, 100, то зависимости компонентов тензора эффективной проводимости от Р выглядят следующим образом (рИС. 35-38).

Пороги Протекания, например для 03/01 = 10, можно оценить

так; Р,ОА. Р2=Рз = 0,2.