Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

КВАЗИОДНОМЕРНОЕ ПРОСТРАИСТВЕННОЕ ТЕЧЕНИЕ

Рассмотрим квазилинейное пространственное течение в параллелепипеде с размерами /, & и Л, грани которого ориентированы параллельно координатным осям х, if. z. Будем считать, что на гранях, перпендикулярных оси х, зафиксировано неслучайное давление, а остальные грани непроницаемы для жидкости. Проницаемость среды внутри области течения будем считать случайной статистически однородной функцией всех трех координат. Поскольку метод решения этой задачи только в деталях отличается от рассмотренного достаточно подробно двумерного случая, далее приводятся лишь результаты с небольшим комментарием. Итак, имеем:

<q> = ЯьЛ- <Яч>, до = X (Pi - Pi). (3.40)

<д2> = ~ \ I \ i\] G4r, г) f. ?)dvdv.

"о""* и о о о о о

Dg = \ \ \ \ \ \ К (Г. ?)dvdv. (3.41)

Для дисперсии дебита аналогом формул (3.14) и (3.15) является следуюшее соотношение

Dg = д1Щ (1/а) t (b/a) (h/a). (3.42)

где функция ф = /, если используется трехмерный аналог корреляционной функции (3.14) и ф = f при корреляции типа (3.16).

Нетрудно видеть, что формулы для плоского течения (3.15) и (3.17) следуют из (3.42), если положить/1/о-*-0.

Исследование асимптотики < 2 > при стремлении масштаба корреляции к Нулю и конечных /, ft, Л приводит к формуле

<д2> = -?о:/3. (3.43)

Таким образом, для величины \ = < д >/?оС можно написать единую формулу

Х=-1/гг. (3.44)

где п - размерность рассматриваемого пространства-течения (при линейном, плоском и пространствениоц течении п= 1, 2, 3 соответственно).

Подставляя в (3.40) функцию Грина соответствуюшей задачи для параллелепипеда и корреляционную функцию - пространственный аналог выражения (3.16), как и в плоском случае получим смешение дебита в виде комбинации рядов, сходимость которых можно улучшить методами, изложенными ранее. При 1 = Ь = h, как и в случае плоского течения, ряды суммируются в конечном виде, что позволяет записать

Х = --[1-ч>з,;/а)[, (3.45)

или, введя безразмерное смешение и дисперсию, запишем

X = l(l Z>3). (3.46)

Нетрудно заметить, что формулы (2.17), (3.35) и (3.46) можно объединить в одну

\=-(l-D„)/n. (3.47)

Как и в случае плоского течения, использование симметрии функции Грина и структуры формулы для смещения позволяет выписать соотношение для безразмерного смещения пространственного квазиодномерного течения

X = -[1 - =р( а)] [2 + ср ф/а) + ср (к/а) + 2(Ь/а) х <р (k/a)].

(3.48)

Очевидно, что при I = Ь =h формула (3.48) переходит в точную формулу (3.45), при h/aO из (3.48) следует формула (3.39). Если, кроме того, положить и Ь/а-*6, то получим формулу (2.17) для одномерного течения. Таким образом, формула (3.48)-наиболее общая, охватывающая случаи пространственного, плоского и одномерного течений.

КВАЗИРАДИАЛЬНОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ К СКВАЖИНЕ

Рассмотрим установившееся течение к совершенной скважине, расположенной в центре кругового пласта постоянной толщины (рис. 11)- Совместив с центром скважины начало полярной системы координат, будем искать в области p<r<R, 0<9<25с решение уравнения

I д

+ 2 Й1

I а Г др

(*./)= Т-д? *( )r-aF

k (г,в)

= О (3.49)

при условиях

р(р, в) = const, р (R, Ь) = Р2 = const. (3.50)

К (3.50) следует присоединить условия периодичности случайных функций к (г, Ь) к р (Г, Ь):

к (г, Ь) = к(г,Ь + 27Г). р (г. Ь)=р(г,Ь + 2it). (3.51)

Проинтегрировав уравнение (3.49) в пределах от О до 2it с учетом условий (3.51), получим выражение для случайного дебита

3= -т(в)-rfв. (3.52)

Представим случайные функции к, р и случайный дебит Q в виде k= ко +к, ко <к >, р = ро + pi + р2. Ь = Ьо + 1 + в.,

(3.53)

и будем считать, что ро является периодическим по 9 решением задачи

L {ko, pa) = О, ра(р, Ь) = Р.. Ро (R. Ь) = Р2.

(3.54)

Соответственно

Qo = --jfto-de. (3.55)

Для pt и Qt имеем

L = (ko. pi) = -L (k. ро), pi (p. 9) = = pt (R, b) = 0,

Рис 11. Схема области квазиодиоыерного (квази-радиальиого) течения в круговом кольце

(3.56)

Аналогично

L (Ао, рз) = -L (k. pi), р2 (р. 9) = р2 (R, 9) = О,

ko - • -

rf9.

(3.57)

Пусть ко = const. Тогда из (3.55), (3.56) и (3.57) получим

(3.58)

Для определения Q2 из (3.58) следует решить задачу (3.56), т. е. найти pi (г, 9).

Pi ( 9)

dk{r\ (I)

(3.59)

адачи: (3.60).

где функция Грина G-периодическое решение следуюшей задачи:

V?.eG(r. 9. г, 9)--S (г, 9. г.Ь),

G(R. 9, r.9)=G(p, 9, r.9)=0. Теперь запишем первые два момента дебита:

-IT- ИИ g;" drdQdrdb

< Q > = Qo

0 p 0 p 0 Qgx(p. p)

(3.61) 49