Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Подставляя в (5,8) значение f. получим для pi

(0=-1t;<> (G(r, r)-drK (5,9)

Аналогично можно вычислить и остальные рп- Считая возмущения k достаточно малыми по сравнению с *о> мы в дальнейшем

ограничимся исследованием pi (г).

Получив соотношение (5,9) для флуктуации давления, определим корреляции поля р в различных точках пространства. Обозначив символом

(Г, Г2)= < рЦГ)р1(Г2)> (5.10)

корреляционный момент давления в точках л,, лг, перемножив /)(Г) и р (Гг) и усреднив, можно написать

Я, (7,, гО=*о"аИО(, r)G(r2, г)К1у(?. ?)4гЧг.

(5,11)

Вычисление Hi при произвольном расположении точек Г\ и гг связано со значительными трудностями. Проще обстоит дело прн совпадении точек, т, е, при вычислении дисперсии поля давления.

При п = Гг = г имеем

Я {Г, О =*ГаИО(Л r-)G{r, ?) К]у 7-)dr-ilr~K (5Л2)

Проведем в (5.12) следующие преобразования. Перенесем начало

координат систем г и г в точку г и дважды проинтегрируем (5.12) по частям. Тогда, учитывая, что функция G в бесконечности вместе со своими частными производными обращается в нуль, а поле

к (г) однородно, запишем

Я, (л, о =АГа2 JJg;- (Р) Оч-(О ус (л, 7-)dr4r~\

Если считать случайное поле проницаемости также изотропным, то корреляционная функция К зависит лишь от \г -г"\. Тогда, введя новые переменные р=л, рг = г - г", р,-= [р,), получим

Я,(г") = *Га5 5в" (р2) К(?г) d?l, (5.13)

B"(i>2)=lGj. ii)G,(?i-?2)d?l (5.14)

Результат вычислений интеграла (5.14) приведен в работе 19) и имеет вид

(5.15)

0. I Ф j.

Для того чтобы получить этот результат, целесообразно свертку производных функций Грина трансформировать при помощи преобразования Фурье-

Пусть k - волновой вектор, а В, G - преобразования Фурье соответственно свертки В и функции Грина g. Тогда из (5.14) получим

а так как

то имеем

B{k)=G:-{k) О:, (*).

G ik) = g;,(*) =kilk\

B"Ck) = kiki/k\ (5-16)

Теперь яля получения (5.15) остается применить к 6" обратное преобразование Фурье и вычислить интеграл

Возвращаясь к вычислению корреляции И\, подставим (5.15) в (5.13). Проведя теперь интегрирование по углам всего пространства рг = р, получим после преобразований

(г, г}=<л1К{р) pdp.

Следует заметить, что хотя в рассматриваемом случае поле давления не является однородным (среднее давление ро (г) зависит от

координат), его флуктуация р, (г) однородна. Задавщись конкретной функцией /С(р), нетрудно довести вычисления до конца. Пусть, например,

/С(р)= De-p*". тогда И, = D(iV/6*o; К (р) = De- Я, = DcLal3kl; Л(р)=Ш(р). Л(р)={> Я,=а4.

Итак, во всех случаях дисперсия давления пропорциональна квадрату величины, которую естественно назвать масштабом корре-

ляции проницаемости. В общем случае, введя в рассмотрение масштаб L при помоши формулы

L=2D-4K(9) prfp.

запишем Н\ в виде

Hi = DaLkl.

Если ввести перепад среднего давления на длине, равной масштабу L и обозначить его через то

Hi = r.-ipllb.

Корреляция давления и проницаемости

Для вычисления корреляционного момента < ft {Г\) р\{гч) > умножим (5.9) иа fe (г) и усредним

Ограничиваясь вычислением одноточечного момента, положим Г = Г; = г и перенесем начало координат системы в точку г. Тогда

< кpi > = fer а У О {г) {т) drK Поскольку о - четная функция, а ЛГ. - нечетная функция, пос-

ледний интеграл равен нулю. Итак, при г, = имеем < кр >=0. т.е. давление и проницаемость не коррелируют в одной и той же точке пространства.

Поле градиента давления

Исследуем вторые моменты векторного поля градиента давления. Нетрудно показать, что эти моменты образуют некоторый тензор второго ранга, компоненты которого имеют вид

Я?,П.;. = <> = , ,5.17,

где 1, 1=1, 2, 3; верхний индекс у х* обозначает точку пространства, а нижний - компоненту градиента. Используя для Я, выражение (5. II), получим после преобразований

М (П. Гг) = коо. У У (П, ?) 0 {Г2, ?) X

хК:-,х1 )drdr". (5.18)