Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

2. Пусть плоскость заполнена включениями, для тензоров локальных проводимостей которых о,- выполнено условие

det Я1 = с= const- (6.82)

Тогда при задании а/ = с из (6-71) следует а = о, т. е. штрихованная система тождественна исходной. Поэтому из (6.73) имеем

det = = с (6.83)

и, если эффективная проводимость изотропна, из (6.83) вытекает

= У с. (6.84)

В частности, из (6.84) следует формула А. И. Дыхне [91 для эффективной проводимости двумерного поликристалла, состоящего из хаотически ориентированных анизотропных кристаллитов.

Очевидно, соотношения (6.83) и (6.84) сохраняют свой смысл и для непрерывных сред, удовлетворяющих условию deta - c. Такие

среды легко аскоиструировать». В самом деле, положив о, {г) =

= Ус fir), где/С) - произвольное неотрицательное стохастически

однородное случайное поле, а Oj,(r) = ycf- (г), получим среду с искомыми свойствами.

3. Рассмотрим плоское случайное поле, локальный тензор проводимости которого является непрерывной функцией коо)динат. Пусть главные оси локального тензора проводимости не зависят от координат и совпадают с осями х к у. Пусть также компоненты

тензора проводимости о (г) - скалярные случайные поля Oi(r) и

о,(г) имеют одинаковые многоточечные функции распределения. Выбрав а/Р = ехр2 < lnai> = ехр 2 <1по>, найдем из (6.71), что срсание значения логарифмов компонент тензоров о и о одинаковы, а вектору

г= (Ino;- <1па,>, Inoj,- <lnijj,>) (6.85)

в случае штрихованного поля соответствует вектор

= «1пау> - Inop, <Ino> - 1паД (6.86)

Если предположить, что случайная структура такова, что многоточечная функция распределения поля к является четной функцией я, то из тождественности распределений о, и Оу следует, что векторные поля ж к х распределены одинаково и, следовательно, штрихованное поле имеет ту же эффективную проводимость, что исходное. Поэтому

det 0, = ехр 2 < 1по,> = ехр2 <1па>. (6.87)

Если поля Oi и о„ некоррелироваиы, эффективный тензор изотропен и

о, = ехр <Inoj(> = ехр <1па>. (6.88)

Точно так же будет и при полной корреляции полей в, = ej, = o, т. е. изотропии локального поля. Иэ (6.88) следует формула (6.39).

Заканчивая рассмотрение задач, для которых удается получить точное решение, остановимся на системе, распределенной по закону Кошн

/(в)= 2а/«(о2+а), а>0. а > 0. (6.89)

Очевидно, такая система обладает весьма сильной неоднородностью - все моменты о иеограиичены, коэффициент вариации про-ьодимости бесконечен и потому любые приближенные методы, осно-иянные на разложениях по моментам поля проводимости, неприменимы.

Легко проверить, что случайная величина х = In о - < In о> распределена по закону

g(x) = (Tichv)-! (6-90)

и, следовательно. g(x) - четная функция х. Поэтому точное значение эффективной проьодилюсти составит

а* = ехр <1по> = а. (6.91)

ПРИБЛИЖЕНИЕ МАЛОП КОНЦЕНТРАЦИИ.

ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ДЛЯ СРЕД С ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Рассмотрим двухфазную среду, структуру которой можно описать так: в неограниченной однородной среде проводимости 02 имеются включения проводимости 0. Полагая, что включения распределены в пространстве случайно и в среднем равномерно, займемся задачей о вычислении эффективной проводимости среды в целом. Итак, выберем в Пространстве некоторый объем W, содержащий достаточно М)юги включений и. вьоля средние по объему поток и поле

определим эффективную проводимость из счютношения

V = а*Й. (6.93t

Рассмотрим выражение

V = -1 vdW = i hdW + ( (6.94»

где W -объем, занятый f-й фазой.

Следуя Л. Д. Ландау и Е. М. Лифщн цу 171, будем считать, что включения в среде распределены rdKHM образом, что можно пренебречь их взаимным влиянием при вычислении поля h внутри включений. Иными словами, для определения поля внутри включения можно рассмотреть задачу о единственном изолированном включении проводимости в,, расположенном в неограниченной среде проводимости Если предположить дополнительно, что это вклю-

чение имеет форму эллипсоида, то. как известно [17, поле внутри включения однородно и выражается через поле на бесконечности

И следующим образом:

Л = СЯ. (6.95)

где тензор С зависит от oj, аг и параметров эллипсоида. Так. если 01. а-г, оз - полуоси эллипсоида - включения, а координатные оси Х\, Х2, хг - главные оси тензоров -З] и а?, то

U = ~-fi-jr-. Ci„ = 0. 1Ф т, (6-96)

где an - произвольный параметр, величина которого не влияет иа коэффициенты гц.

Как известно, коэффициенты п/ можно выразить через эллиптические интегралы, а в том случае, если исходные включения - эллипсоиды Вращения или бесконечные эллиптические цилиндры - через элементарные функции. Кроме того, прн любых параметрах

Пусть, например, oi = ог < з, т. е. в преобразованной (штрихованной) системе координат включение - вытянутый эллипсоид вращения. Тогда

„3 = !1п1±-; 2(),«, = пг = -1(1 - п,).

I = iI-aWa. (6.97)

Если а\ = 02 > аз, т. е. преобразованное включение - сплюснутый эллипсоид вращения,

"3

Графики зависимости Пз = Пз (а\/аз) для вытянутого и сплюснутого эллипсоидов вращения представлены на рис. 22, 23. Если же оз = со. т.е. преобразованное включение - неограниченный эллиптический цилиндр, то в соответствии с (6.96)

щ = al (а, + az), П2 = aj(а\ + аг)у «3 = 0. (6.99)

Возвращаясь в рассматриваемом приближении к вычислению

эффективных параметров, учтем постоянство А в области U. Тогда» считая область достаточно большой и полагая, что V\/VP, Получим из (6.94)