Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Используя функции Z f и, запишем уравнения фильтрации несжимаемой жидкости во всем пространстве М

V = -ku(x)b (X) Vp, divy = 0. (7.5)

Здесь V- вектор скорости фильтраиии жидкости: kk(x)~

проницаемость; р - давление: функция О (я:) определяется нз соотношения

В = вг 4 (Й - Йг)г, В; = Г. (7.6)

где 1 - вязкость 1-й фазы

Очевидно, локальные фазовые скорости определяются по формулам

V\ = vz, Уг = У (I - г). Используя (7.5), будем искать средние скорости фаз

V, = <У1> = <vz>, Рг = <Vq> = <v(\ - 2)>, (7.7)

div (V, + Рг) = О,

Р, = -9, <fo«V/>, Рг = -вг<*(1-2)uVp>, (7.8)

и, следовательно, для макроскопического описания необходимо вычислить корреляции полей k, г, и, Чр. Легко понять, что такая задача в общем случае вряд ли разрешима, и потому далее будут использованы приближения метода возмущений.

Представим рассматриваемые случайные поля в виде

V - Но + 1>, Уо = <у>. р ро + р, ро = <р>.

k= fio + k, fto = <ft>, « = ыи + w, Ио = <w> S+, (7.9)

B = Bo + B, Bf.= <В> = Вг + (в-<1г)5

и будем считать флуктуации k. В, и достаточно малыми в том смысле, что достаточно малы их коэффициенты вариации. Флуктуации поля гмалыми не предполагаются. Тогда в разложении, квадратичном по флуктуациям, но линейном по указанным малым параметрам, будем иметь

V, = -е, \bouozo\7po + <zVp > + kt, <ги> Vpo + + <кг > uoVpol,

V2 = -\koiio (1 - 2о) Vpo - ftowo <2Vp> - fto <2«> Vpo -

- <ft2> «oVpo. (7.10)

Здесь уместно отметить, что степень влияния отброшенных членов в случае немалых флуктуации неясна.

Лля вычисления корреляции <г\7р> используем систему, связывающую флуктуации в рассматриваемом приближении

v = -ктФо

+ 17+ V/io-l- Vp

. divi. = 0. (7.11)

о "n «о /

Будем полагать, что ко = const, Во = const, «о = const, а система координат ориентирована так, что \7ро = (о. О, 0), а = cons. Тогда

д I k и в \

Считая рассматриваемую область достаточно большой, можно записать

p (x)<iiG(x, •)<((x)dx% G(x, х) = l/4-!:\x - x%

Теперь нетрудно получить <zVp-> = а f VG

(7.13)

где М - взаимный корреляционный момент соответствующих полей.

Предположим, что поля г и ы однородны и изотропны, а взаимные корреляции их. так же как и с полем к, однородны и изотропны и стремятся к нулю на бесконечности. Принятие таких предположений позволяет вычислить в конечном виде корреляцию (7.13), однако следует отметить, что если постулирование одно-родностей полей гни выглядит достаточно естественным, то предположение об их изотропии представляется в достаточной мере спорным. Можно ожидать, что в процессе вытеснения, тем более, если состояние фаз существенно неравновесно, распределение фаз неизотропио. Имея в виду это обстоятельство и принимая, тем не менее, гипотезу изотропии, в последующем изложении мы вернемся к этой проблеме и рассмотрим случай иензотропного распределения фаз.

Итак, вычислив !7.13) при указанных предположениях и подставив результат в (7.10), для средних фазовых скоростей получим

Vi = -koHifiVpo. (7.14)

h = S2S+ + (".-822.5,5+ I -KS,S2S+S-X,.„.

Здесь C= <k">"/ko-коэффициент вариации поля проницаемости, а коэффициенты корреляции соответствующих полей >- вводятся равенствами

М,, = VStS2S+S-X,.u. ftoC КЗД><.... (7.15)

Отметим, что рассмотрение соответствующей плоской задачи также приводит к формулам (7.14) с той разницей, что тройки в знаменателях соответствующих членов должны быть заменены двойками, а двойки в числителях - единицами.

Коэффициенты корреляции Л и параметр S+ вообще говоря зависят от насыщенности, отнощения вязкостей, меры иеравновес-ности системы и т. д. Естественно ожидать, что в равновесном состоянии, если фаза 1 смачивающая, а фаза 2 несмачивающая, коэффициент Лй,<0, так как смачивающая фаза в состоянии капиллярного равновесия стремится в первую очередь заполнить подобласти пониженной проницаемости. Естественно, что при этом фазовая проницаемость для смачивающей жидкости будет снижаться, а для несмачивающей - повыщаться.

Если первая фаза - смачивающая, можно ожидать, что прн достаточно больших значениях S\ коэффициент корреляции Х.ц > 0. Наоборот, при малых S менее связной будет, по-видимому, первая фаза, и, следовательно, 0. Поэтому, как следует из (7.14), при

больших S] будет иметь место увеличение f[ при снижении /г. При малых Si, наоборот, снижается [\, а увеличивается /г-

Зависнмость S- от 5j почти очевидна. Можно полагать, что S-(0) = S-(1) = 0. В интервале (0,1) параметр отличен от нуля и достигает в некоторой точке максимального значения. Пусть экспериментально найдены функции фазовых проницаемостей / и fl- Тогда, предполагая, что эти функции удовлетворяют равенствам (7.14), получим

S- = h+f2. 5- = !-{/; + /;) (7.16)

Определение остальных параметров при помощи fi в общем случае невозможно. Однако, если (i = 1*2 и среда однородна по проницаемости (С = 0), можно определить

3 af, - S]/;

Поскольку Хг,н - коэффициент корреляции, < 1, что налагает ограничения на функции /*-, которые нельзя задать произвольно. Например, если функции /* представлены параболами /j = Sf легко получить условие ас > 9/4. Это обстоятельство определяется зависимостью фазовых проницаемостей от механизма течения, определяемого в свою очередь моделью и структурой среды. Любопытно, что для двумерных фазовых проницаемостей ограничение на а; еще жестче. Уменьшение размерности пространства приводит к усилению роли «чужой» фазы и условию а;>4. На рис. 51 приведены зависимости S~ (Si) и kt,., (S) для степенных фазовых проницаемостей при а = 9/4, помещенных там же. Обращает на себя внимание высокое содержание неподвижных фаз прн Si =г 0,5. Взаимное диспергирование наиболее сильно в случае примерного равенства содержания фаз в системе. Не случайно и проводимость системы в целом в этой lз