Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [ 48 ] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

не универсального, а определенного типа, выбор которого связан с анализом структуры оператора MoL и его степеней.

Действительно, обратившись к операторам Мп и отметим, что Мо - интегральный оператор с ядром-функцией Грина для оператора L. я Ц - дифференциальный оператор второго порядка. Отсюда следует, что перемножение этих операторов приводит к необходимости вычисления вторых производных функции Грина, которые, как известно, имеют формальную, т. е. полученную формальным дифференцированием и сингулярную составляющие. Отбрасывание формальной составляющей-один из возможных путей получения суммируемого ряда, учитывающего многоточечные взаимодействия определенного типа. Такой подход получил название сингулярного приближения [37]. Как отмечено Т-Д. Шер-мергором [37], принятие предположений о допустимости отбрасывания формальной производной в конечном счете равносильно гипотезе об однородности поля внутри «зерна неоднородности», т. е. фактически сводится к «размазыванию» поля внутри включений. Очевидно, это обстоятельство сближает метод сингулярного приближения с методом самосогласованного поля, в основе которого лежат сходные предположения.

Прежде чем перейти к изложению сингулярного приближения, вернемся к процедуре получения эффективной проводимости в виде ряда (6.188). Очевидно, при этом определенное значение играет разделение оператора L на сумму неслучайного и случайного эллиптических операторов. Хотя выделение оператора £o = VaoV, где оо=<а>, выглядит естественно, оно не единственно возможное. Напротив, можно ожидать, что при больших флуктуациях о именно такое расщепление - причина плохой сходимости ряда возмущений. Представляется естественным процедуру расщепления оператора L сделать более гибкой за счет введения в оператор /-0 свободного параметра. Такой метод получил название метода перенормировок [33]. Отметим, что первоначально идеи метода перенормировок развиты в квантовой теории поля, в теории рассеяния волн в средах со случайными неоднородностями [31].

Метод предполагает такую перенормировку разлагаемого вряд оператора, которая заведомо приводит к более быстрой его сходимости. Так, уже первый член нового разложения является суммой бесконечного числа членов обычного ряда теории возмущений. Как будет показано, аналогичными свойствами обладают и разложения. приводим1,1р далее для задачи об эффективных параметрах. Некоторое отличие методов связано с введением в нашей задаче свободного параметра, разумным выбором которого можно улучшить приближенное решение.

МЕТОД ПЕРЕНОРМИРОВОК И СИНГУЛЯРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИГ

Следуя изложеник метода перенормировок в работе 331, введем наряду с неограниченной и неоднородной средой случайной проводи мости о аналогичную среду, называемую телом сравнения, для

которой, однако, тензор проводимости Ос постоянен. Выпишем системы Уравнений для обеих сред

y = oft, divJ=0, rotft = 0, (6.189)

Vc = oA, divDc = 0. rotftc = 0, (6.190)

и введем потенциалы прн помощи равенств

ft = VU, Ас= VUc. (6.191) Очевидно, потенциалы удовлетворяют уравнениям Z,u = О, L= VeV.

LcUcO, Lc = VcV- (6.192)

Вводя в рассмотрение отклонения функций поля и операторов от их значений в теле сравнения

0"= 3 -бе, ft" ft-Лс, U" = « -Uc, L" = L - U= VaV,

запишем первое уравнение нз (6.192) с учетом второго

Z,cu" = -Го. (6.193)

Ему эквивалентно интегроднфференциальное уравнение

u = Gfu, (6.194)

где*-символ свертки, а тензор Грина О-решение уравнения

UG= ЕЬ (Г-Го).

Дифференцируя (6.194), получим

ft" (7) = vG(T -/) vc" (r]vu(r)drK (6.195) Интегрируя (6.195) по частям, с учетом свойства функции Грина Gij = -Gj., перепишем (6.195) в виде

£

hi (О - G;., (г~?) б" (>) ft/ (>) dr3. (6.196)

Как известно, вторую производную тензора Грина можно представить как сумму формальной второй производной и сингулярной части

gij = lG:,4rb jG;,.f<fdr= G;,,f(p-(p(0)ldr3+J G.-Pd

(6.197)

где f (r) - Произвольная финитная и дважды дифференцируемая функция, а объем Wo, ограниченный поверхностью So, включает начало координат. Так как Gij - однородная обобщенная функция

степени -2. то интеграл gn зависит лишь от формы элемента объема Цо е IJ. а не от его величины. Далее в качестве Wo выбирается эффективный элемент неоднородности, т. е- усредненный по ансамблю реализаций элемент неоднородности. Как правило, эффективный элемент неоднородности аппроксимируется эллипсоидом. В этом случае g = -по~\ где значение тензора п определено по формулам (6.97), (6.98). Если поле проводимости не содержит включений, а является непрерывным, форму Wo целесообразно отождествлять с формой корреляционных поверхностей К{ги г) = const.

Выделив в (6.196) сингулярную часть в соответствии с (6.197), запишем

h"= (g+ p)ah. (6.198)

Здесь g - тензор, а р - интегральный оператор с ядром - второй формальной производной тензора Грина. Выделение сингулярной составляющей в ядре оператора (6.196) эквивалентно разделению взаимодействия на локальную и нелокальную составляющие, что отчетливо видно в записи формулы (6.198). Целесообразность такого расчленения взаимодействий в подобных задачах впервые отмечена В. М. Финкельбергом [37].

Для компактности дальнейших выкладок введем в рассмотрение тензор X

Х= о°(£-go")- (6.199)

и перепишем основное уравнение (6.198) в виде

{E~ga")h = iE - p\)~4i. (6.200)

Теперь, определив из (6.200) поле Л и усреднив его, найдем

<Л>= <(£-ga")-! (£ -рХ)->Лс. (6.201)

Исключив из (6.200) и (6.201) поле Ле, получим

h = (E-g=")-{E~pK)~ <(£-gO- (£-р>.)->- <Л>.

(6.202)

Формула (6.202) дает точную связь полей Л и <Л> через параметры основной среды и тела сравнения. При этом очевидно, что зависимость от параметров тела сравнения кажущаяся.

Подставив (6.202) в уравнение и = оЛ и усреднив его, получим искомое точное выражение эффективной проводимости а,

0.= < =.(£-g=.")- (£-р>-)- >< (£-gO- (£-рХ)- >-.

(6.203)

которое, естественно, также не должно зависеть от Оо.

Конечно, внешняя простота формулы (6.203) обманчива. Для реализации вычислений выражения типа (£ - рХ)- следует