Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИИ

ОДНОМЕРНОГО ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПЕРЕНОСА

Рассмотрим перенос динамически нейтральной примеси фильт рационным потоком в среде со случайными иеоднородностями Будем считать фильтрацию установившейся, жидкость несжимае мой и однородной по вязкости и плотности, в отсутствие источнн ков жидкости, пренебрегая молекулярной диффузией и дисперсией в масштабе пор, систему уравнений можно представить в виде

m~+v\7c = 0, (10.1)

у = -i-Vp. div 1=0. (10.2)

Здесь у -вектор локальной скорости фильтрации; р -давление; k - проницаемость пористой среды; m - ее пористость; ц - вязкость жидкости; с - локальная концентрация примеси.

Поскольку примесь принята динамически нейтральной, задачу осреднения можно расщепить. Можно усреднить систему (10.2) и найтн необходимые соотношения, не рассматривая динамики примеси,- примеры такого осреднения изложены в главах 5 и 6, где вычисляются эффективные проводимости, корреляции различных элементов поля и т. д. Независимо, в предположении, что

поле V известно, можно поставить задачу осреднения уравнения (10.1).

Реализацию процедуры осредиеиия уравнения переноса (10.1) начнем с рассмотрения одномерной фильтрации. Случай одномерной фильтрации несколько специфичен, поскольку при постоянной пористости и Отсутствии источников жидкости скорость фильтрации, однородная по пространственной координате, может рассматриваться только как случайная функция времени. Однако уже в этом простейшем варианте можно выявить основные трудности и особенности процесса осреднения уравнений. Методы, развитые при изучении одномерных течений, оказываются эффективными и для анализа многомерных полей в средах со случайными проницаемостью н пористостью.

Итак, рассмотрим уравнение одномерного переноса в области > О, лг1 < со

"$+1=0. (10.3)

и пусть при / = О зафиксировано начальное неслучайное распределение концентрации

с (Л, 0) = с:„(х). (10.4)

Поскольку divv = ди/дх = о, имеем у=у(/)и. следовательно, общее решение задачи (10.3), (10.4) имеет вид

с(х,1) = со д:--и(т)Л . (10.5)

Располагая решением (105). естественно, можно вычислить и = - <с> У. любые статистические моменты решения. Однако устаио-В1гть какому уравнению удовлетворяет средняя концентрация, таким образом, не удается. Действительно, пусть = .р (и) - известная плотность распределения случайной скорости v(t). Усреднив (10.5), запишем

и= <с> = i

t{v)dv (10.6)

и тогда, выполнив в (10-6) интегрирование, найдем, что u(j./)есть некоторая неслучайная функция, зависяшдя от того, какова функция С(,{х). Естественно, что такая фшцт может удовлетворять любому уравнению, если только оно неоднородно.

Итак, вернемся к уравнению (10.3) и, подставив в него следу-юшле разложения:

с (Х. t)U {X. t) + с {X, I), и {X, I) = <С (X, t)>.

i,(/) = r + y(/), г = <i{f)> =const, (10.7)

усредним- Для и {х, t) и с (х. t) получим систему

и{х. О) = со(х), cix.O) = 0. (10.10)

Естественный путь получения уравнения для и заключается в следующем. Рассмотрим уравнение (10.9) при однородном начальном условии с{X, 0) = О и, считая ди/дх в правой части параметром задачи, найдем с(x.t), зависящее, конечно, от параметра. Подставив найденное с в правую часть уравнения (10.8) и усреднив ее, получим искомое соотношение для и (л:, t).

Введем функцию Грина G как удовлетворяющее однородному начальному условию решение уравнения

m+W§ = m&{x-Xi)bit~t>). (10.11)

Нетрудно проверить, что

G{x, t, хи U) =5U -- Гт- (t - tt)\h(t-U). (10.12) Здесь h{t - /) - символ единичной функции Хевисайда

Используя найденную функцию Грина, из (10.9) легко получить интегро-дифференциальное уравнение

СГ ди iz, t.\ dcf /г, I.)

dt„ (10.14)

дсЧг, (,11

Для решения (10.14) используем метод итераций, в соответствии с которым, вычисляя Сп+1, под знаком интеграла будем полагать с = Сп- Для начального приближения естественно принять со = 0. Подставив Со в правую часть (10.14), найдем

-1 . (г, t,\

(10.15)

Аналогично вычисляются ci, Cg, ..., а затем и правая часть (10.8), которая таким образом превращается в бесконечный ряд нитегро-дифференциальных операторов, действующих на среднюю концентрацию и{х.1). Коэффициентами этих операторов являются разноточечиые моменты случайной функции v (/).

Оставляя в стороне вопрос о сходимости метода итераций, тем более, что практически обычно реализуется лишь первое приближение, подчеркнем важную особенность уравнения для средней концентрации, а именно его нелокальность. В самом деле, рассмотрим снова уравнение (10.3) для истинной концентрации с(х, t). Поскольку оно связывает dc/dt и дс/дх, определенные в одной и той же точке пространства - времени, это соотношение локально. Процесс усреднения уравнений по ансамблю реализаций позволяет частицам примеси перемещаться не только в пространстве (дг, /), но и как бы в пространстве реализаций. В этом заключена причина нарушения локальности и, как следствие, появление в уравнении для и{х, I) интегро-дифференциальных операторов.

Рассмотрим подробно уравнение для и (х, t). ограничившись первым приближением с (х, /), подставив которое в уравнение (10.8) и усреднив, получим

B(t, = <f {t) v ((,)>.

Итак, уже в первом приближении уравнение для средней концентрации нелокально, оно связывает производные, определенные в разных точках пространства - времени.

Рассмотрим внимательно правую часть уравнения (10.16). Нетрудно видеть, что интеграл в этом уравнении - это просуммированные с весом B{t, t]) значения duldx для некоторой точки, «плывущей» по оси X со скоростью Wim и оказавшейся в момент времени t в точке X. По сути это своеобразная лагранжева характеристика «плывушей» точки, проинтегрированная в весом В по траектории. Отсюда ясно, что степень нелокальноети зависит от «памяти> про-