Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [ 82 ] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Корреляции М и S" определены из соотношений (10.72) и (10.42), а тензор 6" для трехмерных и двумерных течений вычислен в главе 5.

Изучим возможности локализации уравнений (10-114), рассмотрев, как обычно, сначала одномерное течение. Наличие двух случайных функций и и т. а также учет их корреляций значительно сужает возможности способа локализации, примененного для задач, в которых фигурировало одно случайное поле - v или т. Определенные осложнения связаны и с тем, что корреляции М (х. г) и

В (X, Z) могут иметь различные временные масштабы; соответственно «п1 и

Далее мы приведем локализованные уравнения для некоторых частных случаев, для которых удалось провести стандартную операцию локализации. Так, если поля унт иекоррелированы. то JV = О, а корреляции М и В имаот вид

М{х. г) = Моехр[(х - 1)Ы

В"(Я г) = fiexp((t -0/s„). t>t,

то для и (X, t) можно записать уравнение третьего порядка

ди , ,у,ди , W

le™+e.(l-f)l + ах

+ то [г, + (1 - I g + 2у (е„ + г.)

(1 - /) дЧ ,

дх>

ГМЗ-/) ди Щ d»?dt

dxdl

dxdi

+ mo (i-f)

= 0. f=B/WK

Можно показать, что при Е„=е„ = Е средняя Удовлетворяет уравнению второго порядка

--------"

«0(1-) +

dxdl

dl = 0.

(10.П7) концентрация

(10.118)

являющемуся естественным обобщением уравнения (10.28) - переноса полем случайной скорости и уравнения (10.76) - переноса в среде со случайной пористостью. Кажущаяся иесводимость уравнения (10.117) к уравнению (10.118) при em = e„=e в действительности не является противоречием. Можно доказать, что все решения уравиеиия (10.118) являются одновременно решениями уравнения 1ретьего порядка (10.117). Обратное, строго говоря,

неверно. Однако задание непротиворечивых дополнительных условий делает уравнения (10.118) и (10.117) при era = ei, = e эквивалентными.

Легко видеть, что решение уравнения (10.118) прн дополнительных условиях (10.81) качественно близко решению задачи о переносе в среде со случайной пористостью. Возмущения распространяются с характеристическими скоростями

W {-{

Средняя характеристическая скорость

V2=---. (10.119)

не зависит от флуктуации скорости фильтрации. Можно показать, что возмущая скорость фильтрации, мы увеличиваем скорость переднего фронта и иа столько же уменьшаем скорость заднего. Как и в ранее разобранных случаях, решение вдали от фронтов является несколько деформированным решением параболического уравнения. Грубая локализация уравнения (10.114) в одномерном случае приводит к дифференциальному уравнению

При этом поля [>(/) и т{х) считаются некоррелированными. Такое ограничение связано с тем, что в одномерном случае естественно считать корреляцию N постоянной и, следовательно, имеющей неограниченное время корреляции. Поскольку грубая локализация допустима лишь при условии малости времени корреляции, получить локализованное уравнение можно лишь при условии N = 0.

Поставить для уравнения (10.120) корректную задачу можно лишь проведя регуляризацию. Действительно, уравнение (10.120) принадлежит к эллиптическому типу. Задание при 1=0 функций и{х, 0), ди{х, 0)/dt приводит к некорректной задаче Коши, как известно, неустойчивой по начальным данным. Если поставить смешанную задачу в области х>0, >0, то, как это уже было с уравнением (10.100), нарушается принцип причинности.

Для регуляризации, как и ранее, положив в (10.120)

получим параболическое уравнение переноса 252

для которого корректны как задача Коши. так и смешанная задача.

Переедем теперь к iрубой локализации уравнения многомерного переноса (10.114). Полагая, что система координат привелена к главным осям тензора в, si - времена корреляции компонентов

скорости Vi, 8(-Время корреляции компонент вектора JV, получим

(10.122)

Хотя, вообще говоря, времена коррелжии ei, 4 могут быть различными, далее мы будем, безусловно упрощая ситуацию, считать их одинаковыми. Некоторым основанием для этого является то. что мы полагаем неоднородность поля скоростей порождаемой флуктуациями поля проводимости а, которые, в свою очередь, как и флуктуации пористости т, в определенных условиях связаны с нерегулярностью процесса осадконакопления и других факторов, формирующих емкостные и массопроводяшие свойства естественных пористых материалов. Это предположение тем более приемлемо, чем выще модуль коэффициента корреляции пористости и проницаемости.

Итак, далее е„ = е; = Sd = е. Совместив ось Х с вектором W, получим уравнение лля трехмерного переноса

(10.123)

Для двумерного поля имеем аналогично

ди пп ди

ыдх.

/3 .0

(10.124)

Регуляризуя, как обычно, уравнения (10.123) н (10.124), получим параболические уравнения трехмерного и двумерного переноса tooT ветстве н и о

(15Х-20Хр + 8)§+Й + ё

(10.125) 253