Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОЙ ПРОВОДИМОСТИ

Достаточно обшая процедура вычисления эффективной проводимости связана с применением метода возмушеинй или перенормировок и приводит к бесконечному ряду, суммирование которого в общем случае представляет собой трудно разрешимую задачу. В большинстве случаев остается открытым вопрос о сходимости ряда теории возмушеиий, если флуктуации проводимости достаточно велики. Сложность и громоздкость выражений для членов ряда возмущений затрудняют анализ его структуры и выбор методов суммирования ряда. В этом смысле определенные перспективы могут быть связаны с методом Херринга. в соответствии с которым все флуктуирующие функции представляются рядами Фурье и исходные уравнения содержат искомые амплитуды этих разложений. Редукция к нелинейной системе уравнений также приводит к ряду, но, как показано В. А. Кудиновым и Б. Я. Мойжесом [16], структура ряда относительно проста. Ее анализ позволил авторам предложить приемы приближенного суммирования итерационного ряда, приводящие к довольно простым формулам для эффективной проводимости. Этот анализ оказался полезным и для выбора пробных функций при построении вариационных оценок для эффективных характеристик. Далее излагается метод Херринга и результаты его развития в работе [16]. Пусть локальные поля и потоки связаны соотношениями

U = оЛ. Л = ру, (6.239)

divy = 0. rotft = 0. (6.240)

Выделим в пространстве некоторую область W, характерные размеры которой значительно больше масштаба неоднородности поля 3 и введем средние по объему полей о, и и Л, соответственно

ао, V, Н. Эффективная проводимость о* и эффективное сопротивление р* определяются из соотношений

У = Ун. H = p*V. (6.241)

Представим внутри области W поля а, а и Л их разложениями в ряд Фурье

о(г) = ао + Е "«е*. k

Л(0 = й-4-2Л*е»".

v(r) - V + Г Vkt"" . (6.242)

Штрих у знака суммирования означает, что опушен член ft - О. Подставив (6.242) в первое уравнение из (6.239* и осреднпв его

по объему с учетом того, что среднее значение е* при кФО равно нулю, получим

(6.243)

Следовательно, для вычисления при помоши (6.243) эффективной

проводимости нужно найти Л*. Для этого вновь подставим (6.242) в (6.239) и сравнив коэффициенты при одинаковых гармониках, получим

Уравнениям (6.240) соответствуют равенства

(6.244)

(6.245)

Система (6.244), (6.245) решается методом итераций, для чего в сумме (6.244) в качестве начального приближении принимается

Л» = О, а для вычисления последующего приближения в сумму подставляется предыдущее. Таким образом

Л, = -/(/.Н)+ S /(/./,)(/, .Н) (6.246)

о kifk Яр

где fi = ki/\ki\.

Подставив (6.246) в (6.243) и полагая, что флуктуации изотропны, для трехмерной среды получим

о* = ОО

1 V

(/•/l)(/-/2)(/. ./2)

(6.247)

В двумерном случае перед суммами будет множитель /г-Сравнивая выражение (6.247) С рядом теории возмущений для а" (см. (6.188), можно отметить его относительную простоту. Вместо ряда, содержащего степени нитегродифференциальных операторов, свертки функций Грина и т. д., здесь каждый член ряда - Сумма произведений двух сомножителей: скалярных произведений базисных векторов и сверток компонент поля о. Индивидуальность каждого конкретного поля определяется связью этих сверток и взаимным направлением векторов. Если такая связь несущественна, то сумму произведений можно представить как произведение сумм, и ряд (6.247) суммируется в конечном виде. Для этого используется конечное точное решение для одномерного поля и егс разложение в ряд, имеющее ту же структуру,

что и ряд (6.247) в предположении о несущественности корреляции между упомянутыми сомножителями. В итоге

о* - ао

р* = ро

<Ч+з-j>JJ I

v+j-}>

(6.248) (6.249)

Если предположить, что все /, параллельны, то из (6.247) следует 0*= 3-О0+ зро .

р* = 3-ао +-3Р0. Для двумерной среды аналогами формул (6.250) будут

а* = у (ар + ро"). 1 / -

(6.250)

(6.251)

Как указывают авторы [16], случай параллельных /; соответствует стохастической мозаике, сложенной из слоистых элементов. Конечно, такая интерпретация достаточно условна. Очевидно, что если слоистые элементы имеют поперечную проводимость, равную нулю, плоская мозаика в целом будет непроводящей, в то время как формула (6.251) приводит к конечной проводимости. Таким образом, хотя в некоторых случаях удается получить конечные формулы, интерпретация этих случаев недостаточно определенна.

Остановимся иа сравнении формулы (6.251) с точным результатом А. М. Дыхне (6.60). В работе [16 указано, что в случае двумерной статистически эквивалентной смеси расхсзждеиие между (6.251) и точным решением о* = Уа,а-2 обнаруживается в коэффициентах разложения по моментам, начиная с момента 6-го порядка. И хотя формально это так, тем не менее, формулы (6.251) в случае доста точно сильных неоднородностей малопригодны. Так, если з, = О, проводимость смеси о* = О, в то время как согласно формуле (6.251) она равна аэ/4. Можно сравнить формулу (6.251) и с другим точным результатом А. М. Дыхне. Так, если распределение о логнормально. то согласно [9] имеем

о* = 5п(1+е)- c = llrl£i!. (6.252)

При этих же условиях формула (6.251) имеет вид

1 + С/2

о = Оо