Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

as -о, получим из него неравенство лля вероятности перколяции анизотропной среды

I а(; + ;)-2°°г (8.!8)

К -р----,

Если система координат повернута относительно главных осей, в (8.18) следует в + ог заменить на SPa, а ajoj - на det о, т. е . полученная оценка зависит лишь от инвариантов тензора эффективной Проводимости. Зависимость оценки от а является кажущейся, так как al пропорциональны а. В случае нзофопии системы неравенство (8.18) переходит в (8.16).

ФИЛЬТРАЦИЯ С ПРЕДЕЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ

В СРЕДАХ СО случайными НЕОДНОРОДНОСТЯМП

Фильтрация с предельным градиентом в нерегулярных по проницаемости средах приводит к образованию застойных зон, хаотично вкрапленных в область течения.

Рассмотрим движение неньютоновской жидкости в пористой среде, пользуясь следующим приближенным представлением закона фильтрации ()]:

Здесь V - вектс скорости фильтрации в точке г; р - давление жидкости; k-Проницаемость среды; *-вязкость жидкости. Величина в называется обычно градиентом и, как показывает анализ размерностей и экспериментальные исследования [271, можно представить в виде

е = X/Kft, (8.20)

где i. - коэффициент, пропорциональный напряжению сдвига ие-ньютоновской жидкости.

Если гидродинамическое поле фильтрации имеет особенности типа источников и стоков или среда достаточно неоднородна, в области фильтрации должны существовать застойные зоны, т. е. подобласти, где скорость фильтрации равна нулю. Естественно, что отыскание границ застойных зон - одна из основных задач теории фильтрации неньютоновской жидкости [27]. Если условия задачи достаточно нерегулярны, например среда является неоднородной в малом, но однородной в большом, а сама неоднородность скорее может трактоваться как случайная, отыскание границ множества застойных зон, вкрапленных в течение, не имеет смысла. В этом случае естественно найти вероятность появления застойной области в данной точке или, если случайное поле эрго-дично, определить плошадь или объем застойных зон, приходящихся на единицу площади или объема среды в среднем. Велн-

чину эту естественно назвать коэффициентом охвата. Представляет интерес оценить связь коэффициента охвата с параметрами, характеризующими свойства пористой среды и жидкости и внешними условиями, определяющими течение в целом.

Совершенно очевидно, что решение подобной задачи в точной постановке в общем случае вряд лн осуществимо. Исключением является одномерная («слоистая») модель течения, которая будет подробно рассмотрена позднее. Далее для оценки коэффициента охвата используем некоторые соображения, позволяющие приближенно оценить его величину. В самом деле, известно [1], что в некоторых случаях (например, течение внутри угла) площадь застойной зоны можно найти приближенно, если считать жидкость ньютоновской и вычислить площадь подобласти, внутри которой I Vpl <в. При этом, правда, конфигурация «застойной» области оказывается мало похожей на истинную, но коэффициент охвата оценивается достаточно удовлетворительно. Так как при фильтрации иеиьютоновской жидкости в среде со случайными неоднородностями конфигурация застойных зон несущественна, описанный эффект, по-видимому, позволяет построить приближенную схему расчета коэффициента охвата. Прн этом, очевидно, охваченными фильтрацией следует считать подобласти, где поле модуля градиента давления совершает «выбросы» за уровень 6. Математическое ожидание отношения плошади или объема таких подобластей ко всей площади или объему области фильтрации и есть коэффициент охвата. Следует отметить, что условие охвата Vp>e неудобно для анализа. Если его возвести в квадрат и использовать (8.20), то легко записать эквивалентное неравенство

E>iyv. (8.21)

где Е - энергия, отдаваемая потоком в единичном объеме за единицу времени.

Как известно, энергия определяется из соотношения

E = ~vvp (8.22)

и всегда неотрицательна.

Так, проницаемость среды случайна, энергия потока также распределена случайно и если f (Е, г) -плотность распределения этой энергии, то вероятность неравенства (8,21) или коэффициент охвата имеет вид

с= ]f(E. hdE. (8.23)

Поскольку установить связь плотности f с параметрами потока удается лишь в слоистой модели, определим непосредственно среднюю диссипируемую энергию и ее дисперсию, а затем примем некоторую гипотезу о виде функции f.

Для определенности рассмотрим фильтрационное течение в неограниченной среде трех измерений, проницаемость которой является однородной и изотропной случайной функцией координат. Будем считать, что задан постоянный средний градиент давления Vpo. Для упрошення анализа совместим ось х декартовой системы координат с вектором среднего градиента. При этих условиях дисперсия диссипируемой энергии имеет вид (см. главу 5)

7D (дРоУ

<£2> = <(£-<£>f> = Для средней энергии имеем

<>- [-all

151.2

\дх} -

(8.24)

(8.25)

где k -эффективная проницаемость неоднородной среды.

Как показано в главе 6, ее можно записать следующим образом:

k = ko(\ + riy3)-\ !i = D/kl (8.26)

Далее примем, что энергия распределена логнормально, т. е.

ехр

{1пЕ-а)

(8.27)

где а=:<!п£>. = <(1п£-о)»>.

Так для распределения (8.27) выполняется равенство

<£" > = ехр im + п V/2), (8.28)

удается выразить параметры а и через выписанные <Е> и Е

Т5-. 0= 1п(1 + <£2>/<£>2). (8.29)

Располагая параметрами а и з, легко вычислить коэффициент охвата. Проинтегрировав (8.23), после преобразований получим

с= i-(l-ег1 а).

In ? (1 + с/з) "[Х" I + I + !:v3i*

(8.30)

где еимволом erla обозначен интеграл вероятностей

erla = 2ic-"= Je-*d2.

Ha рие. 63 представлены кривые c=c(tp, С)- Уместно отметить, что ПрН С = О функция с((р) = при <р < 1 и с(¥) = 0 при ? > 1. Следует добавить, что если при ? < 1 увеличение С снижает коэффициент охвата с, то при -р > I картина иная. Для любого ? существует Ео, разделяющее области роста и убывания коэффициента о. 2С2