Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [ 86 ] 87 88 89 90 91 92 93 94

усреднение уравнения Лиувилля приводит к дифференциальному уравнению относительно плотности вероятности, если флуктуирующие поля гауссовы по всем переменным и дельта-коррелированны по времени, В некоторых случаях, используя особенности рассматриваемого квазилинейного уравнения переноса, удается полу-чить замкнутое уравнение для средней концентрации активной примеси, усредняя непосредственно уравнение переноса. Примером такой задачи является усреднение уравнения Бюргерса [13]

дс , дс , ,.,

(10.167)

где X, V, t - безразмерные величины.

В предположении, что v (О является гауссовым процессом с нулевым Средним и корреляционной функцией В (х), получено замкнутое уравнение для и (х, t) = <с{х, t)>

ди ди I д

~дГ + дГ + ~~дГ

/ д"и

дх"

+ S (х) dt

J(/-t) в (т) dx

(10.168)

Замечательным обстоятельством является то, что помимо перенормировки диссипативного члена за счет появления дисперсионной вязкости заметно изменились по сравнению с уравнением Бюргерса (10.167) нелинейные члены. Они содержат квадраты производных всех порядков, начиная с первого, помноженных на степени свертки корреляционной функции и времени. Если эти свертки достаточно малы, рядом в (10.168) можно пренебречь и рассматривать приближение усредненного уравнения Бюргерса, которое получится, если усреднение провести при помощи метода возмущений, а затем полученное уравнение локализовать

ди dl

+и-

ди дх

= IV+ .5(0)10.

(10.169)

Здесь 8 - безразмерное малое время корреляции.

Таким образом, метод функционального описания и аппарат вариационного дифференцирования позволяют в определенных модельных ситуациях построить точное дифференциальное уравнение для плотности вероятности концентрации примеси, а также точное уравнение для средней концентрации. К сожалению, условия применимости этих уравнений (гауссовость и дельта-коррелнроваи-ность соответствующих полей) существенно ограничивают значимость этих результатов для непосредственного рассмотрения филь-трационной дисперсии. В то же время целесообразно использовать эти рещения в качестве эталонов при опенке приближенных методов построения усредненных уравнений, например метода возму-щений.

ДИСПЕРСИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ.

УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИИ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПЕРЕНОСА

МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ

До сих пор, рассматривая дисперсионные эффекты в фильтрационном потоке, мы предполагали, что примесь, переносимая течением, является динамически нейтральной. Это предположение позволило расщепить проблему, рассматривая отдельно стохастические свойства поля случайных скоростей фильтрации, а затем и дисперсию прнмеси, переносимой этим полем. Немаловажным обстоятельством, облегчающим исследование, в этом случае является линейность рассматриваемых уравнений фильтрации и переноса.

Далее, отказавшись от предположения о динамической нейтральности примеси, мы рассмотрим дисперсию неоднородных жидких систем в неоднородной пористой среде, используя для этого полную систему уравнений для скорости фильтрации суммарного потока, давления и насыщенности (концентрации). Поскольку свойства жидкости в общем случае зависят от реализуемого течения, а оно, в свою очередь, определяется характеристиками жидкости, полная система оказывается нелинейной. Для ее исследования и последующего усреднения применим метод возмущений в форме, несколько отличной от испо:.ьзовавшейся ранее.

Рассмотрим фильтрацию двух жидких несжимаемых фаз в среде с постоянной неслучайной пористостью и случайной проницаемостью. Для ее описания используем систему уравнений

„. + d,vWMl = o.

V = -к{г)К {ajyp, div и = О, где т - пористость; о - насыщенность порового объема одной из

жидкостей; v - суммарная скорость фильтрации; /(а) и К (з} - функции, вид которых определяется способностью жидких фаз смешиваться в пористой среде; эти (нкции выражаются через функции относительных фазовых проницаемостей и вязкости жидкостей

1г{г) - абсолютная проницаемость; р - гидродинамическое давление; 1 - время.

Будем считать, что на границах области фильтрации заданы условия для р, обеспечивающие однозначную разрешимость задачи, аналогично задана иа границах и в начальный момент времени насыщенность а.

Положим, что проницаемость k является случайным полем и представлена в виде к = кс,+ гк, где е - неслучайный малый параметр, а *о=<>, где угловые скобки символизируют операцию усреднения по ансамблю.

Предполагая правомерность представлений

р = Р+ sp-, v=W-\- ev, в = u + ео", Р = <р>. W = <у>, и = <а>, (10.171)

где Р, W, и также зависят от е. разложим f (rj) и К (а) в ряд в окрестности и

fi") = /(")()7Г. K{o)tK< (u)i()7r

(10.172)

Подставляя (10.171) и (10.172) в первое уравнение из (10.170), получим

m + ms + iii4\Wf (U)] +

+ div

= 0. (10.173)

Усреднив (10.173), найдем уравнения для и и о

m~;- + iiivlWf (и)]+ V ediv

<а>

= 0,

(10.174)

д<у

""-дГ

+J е- div

(/-1)1

- <iV<-i>>)] = 0. уравнение (10.174) с точностью до О (а) имеет вид

т + Ап [Wf {u)\ + div [- (H) <a2> +

(10.175)

+ /(«)<iV>]= 0. (10.176)

В уравнении (10.175) для квадратичного приближения и следует удержать главные члены

+ <Mv\Wf (U) а] + div Ivf (Ы)] = 0. (10Л77>

Дополнительные детерминированные условия, наложенные иа а, отнесем к и, тогда соответствующие условия для (/ будут однородными.

Будем предполагать, что характерные временной и пространственные масштабы изменения а значительно больше аналогичных характеристик о", что позволяет записать решение (10.177) в виде

б {x,t) = -l ехр (- И? vr (и) (i - x] div, у7 {и)\dx.

(10.178) 265