Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

вектор скорости фильтрации отличен от нуля. Такое определение не является единственно возможным. Естественны и такие определения, в которых мерой охвата является вероятность выброса диссипируемой в пласте энергии за некоторый уровень или вероятность выброса модуля скорости [36]. Принятое нами определение коэффициента охвата соответствует так называемой вероятности перколяции, используемой в теории легированных полупроводников [32, 37]. Очевидно, задача определения К эквивалентна задаче нахождения доли связной части коллектора, т. е. проблеме чисто геометрической. Для ее решения в [32] при заданной доле коллектора в системе методом Монте-Карло генерируется множество реализаций случайных полей достаточно большого объема н определяется оценка вероятности попадания блуждающей только по коллектору точки на внешнюю границу области. Помимо большой трудоемкости такой способ требует задания достаточно тонких характеристик внутренней структуры случайного поля, в реальных условиях обычно неизвестных.

Покажем возможность оценки параметра К по глобальным фильтрационным характеристикам системы, допускающим, в частности, экспериментальное ее определение. Рассмотрим вначале случай, когда в однородном коллекторе проводимости о случайно размещены зоны неколлектора нулевой проводимости. Пусть во всей области локально выполнены уравнения переноса

11 = оЛ, drvi = 0, го1Л = 0. (8.1)

Здесь о - скорость фильтрации поля; в(д:)-тензор изотропной

елучайной прсводимости с вероятностью Р, принимающей значение б = const, н с вероятностью 1 - Р - значение в = О, Пусть задано

также постоянное среднее поле И = <Л>, а тензор эффективной Проводимости неограниченной среды о. определен нз соотношения

<у> = У = о Я, divV = 0, го\Й = 0. (8.2)

Здесь и далее угловые скобки - символ усреднения по объему, в данном случае по объему всей области

Поскольку Б изоляторе и в экранированной части проводника

V = 0, можно записать

КР <v>n = cH. (8.3)

Здесь индекс нуль у значка усреднения означает, что усреднение проводится только по связной части объема проводника.

Поскольку энергия днссипируется только в связной части объема проводника, уравнение ее баланса имеет вил

KP<v>, = o{H. а.Я). (8.4)

Уравнениям (8.3) и (8.4) эквивалентны условия

<>>о = {РК)-Нс И, .,. ). (8.5)

Учитывая, что <о> - аР, а дисперсия потока в связной части неотрицательна

(Dv)o= <v>f-<v>l>0. (8.6)

из (8.5) и (8.6) получаем оценку для К

К>К,= (а. , сН)1(<<:> И, о Й). (8.7)

Если Среда макроскопически изотропна, из (8.7) имеем

K>oJ<o>. (8.8)

Отметим, что выражение для К." универсально в том смысле. Что не зависит от размерности рассматриваемого поля да и от самого поля, а определяется лишь функционалами - эффективной н Средней проводимостями, а в случае анизотропных систем и направлением заданного среднего поля. Поскольку оценка (8.7) реализуется точно и как равенство в предельной ситуации слоистой системы, она неулучшаема без привлечения дополнительной информации о структуре среды.

Уместно подчеркнуть, что оценку К. для реальных систем можно найти экспериментальным путем, определяя эффективную проводимость о.

Если проводящая часть системы - коллектор в свою очередь неоднороден, способ получения оценки К, оказывается более грубым, но при не слишком широком диапазоне изменения проводимости коллектора может оказаться полезным. Пусть o.i.=maxo. Тогда нетрудно получить для К неравенства (8.7), (8.8) с той разницей, что вместо <а>в них следует подставить а+Р,

Представляет интерес сравнить К а К, полученные в результате математического эксперимента на простых кубических и квадратных сетках [32] (рис. 59). В первом случае из правильноП кубической сетки 15x15x15, составленной из проводящих звеньев, случайным образом удаляется некоторое их количество. Под-считываются вероятность перколяции К. и эффективная проводимость как функция доли звеньев проводника. Оценка получена пересчетом по формуле (8.8) и на рис. 59 показана сплошной линией. Аналогичная информация для случая плоской квадратной решетки 50x50 узлов приведена на рис. 60.

Сопоставление кривых вероятности перколяции и ее оценки показывает, что оценка сильно занижена, особенно длн трехмерного поля.

Рассмотрим случай, когда в системе имеется малое количество непроводящих включений. Если они распределены случайно, то, очевидно, образование достаточно больших конгломератов из

о, 0,В OS Р Рнс. 59. Зависимости вероятности пер-коляини и ее нижней оценки от доли проводника в трехмерной сеточной структуре

0.8 0.6

0,1* 0,S О.Й 1,0 Р Рис. 60. Зависимость оероятностр пер-ноляинн и ее нижней оценки от доли проводника в двумерной сеточной структуре

неколлектора маловероятно. Скорее всего неколлектор будет образовывать изолированные островки, окруженные коллектором. В Этом случае застойных зон практически не будет, что и видно иа кривых вероятности перколянии, которые очень близки к единице прн доле коллектора, большей 0,5 - в трехмерном случае и 0,75 - в двумерном. С другой стороны, изолированные включения неколлектора влияют на эффективную проводимость системы, снижая ее тем заметнее, чем больше доля неколлектора. Как известно, при малых концентрациях веколлектора это снижение происходит по линейному закону, что легко проследить и на фигурах, где нижняя опенка вероятности перколяции - отиошение эффективной проводимости системы к средней проводимости при Р, близких к единице, почти линейна.

Прн высоких содержаниях неколлектора вероятность перколяции и ее опенка сближаются и, совпадая в точке - пороге перколяции, обе равны нулю. Однако относительная погрешность при этом может быть очень большой, по крайней мере так обстоит дело в рассматриваемом примере.

Таким образом, использование нижней оценки вероятности перколяции для определения доли коллектора, не охваченного процессом движения, связано с большой погрешностью. Пусть, например, доля неколлектора в системе составляет 30%- В трехмерном случае вероятность перколяции практически равна единице, в двумерном она составляет 0,98-0,99. Нижняя оценка в этом случае равна соответственно 0,75 и 0,55. Иными словами, в соответствии с нижней оценкой примерно Л и /а объема коллектора попадают в застойные зоны, в то время как точный анализ показывает, что практически весь коллектор охвачен движением. Естественно, что использование нижней опенки в этом случае может привести к серьезным количественным погрешностям. Ее использование сопряжено с сильным завышением объема экранированного коллектора и, как следствие, с сильным занижением 196