Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Иными словами, в зависимости от того, лучше или хуже проводимость включений го сравнению с проводимостью матрицы, решение Максвелла является для точного значения о* оценкой сверху или снизу. Естественность зтого факта становится очевидной, если учесть то обстоятельство, что решение Максвелла (6.112 является границей Хашина - Штрикмана для эффективной проводимости. В работе [4 получен также следующий результат. Если форма включений, образующих периодическую структуру, произвольна и зг>в, то и в этом случае решение Максвелла (6.112), т.е. з„, является оценкой сверху для одной трети следа тензора эффективной проводимости системы

Таким образом, хотя последние результаты относились к периодическим, а не стохастическим системам, они показывают фундаментальность решения Максвелла. По-видимому, в этом нет ничего удивительного, поскольку предположения, принятые при выводе формулы Максвелла или ее предельного случая (6.104) естественны для периодических структур, для которых, в отличие от структур случайных, взаимодействие между включениями (они всегда изолированы) сравнительно слабое.

Завершая изложение метода Максвелла, приведем без вывода формулы для эффективной проводимости плоской системы проводимости О}, содержащей включения круговой формы проводимостью э]. Поступая аналогично случаю поля с шаровыми включениями, для плоской задачи получим

Из (6.113) при малых Pi имеем о/ = бг

т. е. формулу (6.105).

1 - 2Р°

a.-t-a.

корреляционное приближение

эффективной проводимости изотропного поля

Гидродинамическое давление р в неоднородной по проницаемости, но изотропной в малой среде в случае стационарной фильтрации удовлетворяет уравнению

V(ovp) =0, (6.II4)

где проницаемость а (дг, у, г) является скалярной случайной функцией координат. Будем считать область фильтрации неограниченной и в качестве дополнительного условия для уравнения (6.114) примем, что задан средний градиент давления, постоянный во всей J28

области течения. В этом случае, решив уравнение (6.114) с указанным дополнительным условием, можно выч)1слнть среднюю скорость фильтрации, тем самым определив эффективную проницаемость.

Возможен другой подход [36]. Задав в качестве дополнительного условия среднюю скорость фильтрации, можно отыскать Средний градиент давления, что также дает возможность определить эффективную Проводимость. Как будет далее показано, эффективные характеристики, найденные таким образом и при точном решении идентичные, строго говоря, в корреляционном приближении различны. Рассмотрим последовательно оба подхода.

Пусть задан вектор v <р>. компоненты которого в елучае Среднего течения, ориентированного вдоль оси х, имеют вид

дро/дх= const, дро/ду = дро/дг = 0. (6.115)

Используя метод возмущений, представим проницаемость и давление в виде

о = Оо + а, <зо = <о>, р = pi. + pi + рг + - - - (6.116)

Подставив (6.116) в закон Дарси и ограничиваясь малыми второго порядка, т. е. корреляционным приближением, можно написать для V,

<v,> = -l(oo+<.ll> + .oj<i (6.117) ! \ дх дх I

Однако поскольку при выбранном нами дополнительном условии

д<р>/дх = дрп/дх. д <р2>/дх = 0,

уравнение (6.117) упрощается и имеет вид

(оо$-« + <з>). (6.118.

дх дх I

Вынеея дро/дх за скобки, перепишем его в виде

Очевидно в* и является искомой эффективной проницаемостью.

Пусть теперь поле к(г) однородно и изотропно. Как показано в главе 5 (см. формулу (5.23), если корреляционная функция проницаемости на бесконечности стремится к нулю вместе ео евоей Производной, то независимо от ее вида момент равен

дх ~ Зо„ дх

где D - дисперсия проницаемости и, следовательно,

о* = оо(1 -i>/3oo). (6.121)

Рассматривая аналогичную задачу в пространстве двух измерений, можно получить

а = оо(1-Х>/2ао). (6.122)

Формулы (6.121). (6.192) известны 117. 36, 45) н приводя их, мы хотим указать на их некоторые недостатки и возможности уточнения. Совершенно очевидно, что полученные для эффективной проницаемости выражения являются приближенными, поскольку использовано лишь второе приближение теории возмущений. Существенно, что при достаточно больших отношениях D/ol эффективная проницаемость а* согласно формулам (6.121) и (6.122) становится отрицательной, что неверно качественно. Это обстоятельство ограничивает применимость приведенных формул. Далее мы покажем, что задание в качестве дополнительного условия средней скорости фильтрации приводит к формулам для о*, свободным от этого недостатка.

Итак, будем искать решение уравнения (6.II4) при условии

<у> = const. Считая, что вектор <v> направлен вдоль оси лг, обозначим его компоненту вдоль этой оси через v. Используя метод возмущений и представив о и р в виде (6.116), невозмущенное решение ро определим следующим образом. Оно удовлетворяет уравнению oovVo=0 при условии

дро/дх = -v/ao = const. (6.123)

Очевидно, что pi удовлетворяет уравнению

-VV. = £ (6.124)

при условии обращения решения на бесконечности в нуль.

Аналогично записываются уравнения и для других pi. Подставляя (6.116) в закон Дарси для компоненты Vx и усредняя, получим, ограничиваясь малыми второго порядка

Если учесть условие (6.123), то из (6.125) найдем

<Р2>1дх=--< о Vp, idx >. (6.126)

Приступая теперь к вычислению среднего градиента давления, продифференцируем p=po + Pi + P2 и усредним. Тогда, учитывая, что <др\1дх> = 0, а для ро и р, справедливы равенства (6.125), (6-126), можно записать

< = ---1<о>, (6.127) дх «о "о

или в другой форме

d<p>ldx=vlo. (6.128)

1 "

- Л- - <0 -н->

(6.129)