Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

нефтеотдачи. О порядке погрешностей в этом случае можно судить по приведенным примерам. На наш взгляд, допускаемая прн этом погрешность весьма велика.

С другой стороны, кривые вероятности перколяции показывают, что при умеренном содержании неколлектора, не превышающем 0,3, вероятность перколяции с высокой степенью точности можно принять равной единице. Это означает, что пренебрежимо мал объем коллектора, экранируемого неколлектором. Последнее, конечно, не означает, что неколлектор не влияет на фильтрационный процесс. Напротив, как уже говорилось, эффективная проводимость системы сушественно зависит от относительного объема неколлектора и геометрии его расположения. Наличие неколлектора в значительной степени определяет структуру спектра скоростей фильтрации, предопределяя дисперсию технологических показателей. Однако учет этого механизма существенно иной и, как легко понять, его нельзя охарактеризовать коэффициентом охвата.

Как следует из результатов проведенного анализа, универсальность оценки коэффициента охвата (перколяции)-причина его малой эффективности при определении доли застойных зон. Очевидно, для получения более эффективных оценок следует использовать конкретные особенности рассматриваемых систем. Покажем, что учет того факта, что анализируемая система изотропна, позволяет улучшить ее. Для этого будет использован прием, суть которого мы поясним, вновь получив Эту оценку.

Итак, рассмотрим некоторую систему, состоящую нз проводника проводимости o = ao = const и изолятора нулевой проводимости, объемные доли которых Р и 1-Р соответственно. Пусть какая-то часть проводника экранируется изолятором и. следовательно, не участвует в процессе переноса. Рассмотрим новую систему, отличающуюся от исходной лишь тем. что экранированный проводник исходной системы заменен изолятором. Очевидно, в новой системе отсутствует экранированный проводник - доля проводника составляет Р=РК, эффективные проводимости обеих систем одинаковы.

Пусть модифицированная система принадлежит к некоторому классу, для эффективных проводимостей всех систем которого известны границы, и, следовательно,

а (Р) <о. <о+(Р). (8.9>

где тензорное неравенство следует понимать в смысле знаковой полу-определеиности соответствующих квадратичных форм. Так, в частности, если границы ii± получены из вариационных принципов для энергетического функционала, соотношениям (8.9) соответствуют неравенства

(И, (<з (Р) -б.) ") <0, (8.10)

(ii, (а+(Р)-а.) )>0.

Подставив теперь Р = РК в (8.10) и решив эти неравенства относительно К, получим двустороннюю опенку

К7 <К <КТ, iSIf

тем более эффективную, чем ближе к точному значению а, граница о+.

Выберем в качестве <з± (Р) универсальные границы, пригодные для любых систем

сг+=<а>„/, о = <о->.7Л (Й.12)

где /-единичный тензор, а индекс м означает, что осреднение проводится для модифицированной системы. В рассматриваемом случае <а>„ = аоР, <а->~=0, следовательно,

о <а>,РК1, (8.13)

что дает в общем случае анизотропной системы и произвольного Среднего поля И оценку

К> [Н. <>Н)1(И, <о>И). (8.14)

Легко проверить, что для анизотропных систем и И, неколлн-неарных главным осям тензора а,,

<а> Н, 1 Н И. <а> И

и, следовательно, оценка (8.7) лучше оценки (8.14). Очевидно, для

изотропных систем, как и в случае задания И. коллинеарных главным осям тензора о анизотропной системы, обе оценки совпадают.

Если рассматриваемая система макроскопически изотропна, модифицированная система также изотропна и в качестве верхних границ эффективной проводимости можно выбрать границы (вариационные) Хашина -Штрикмана 1411, которые для двумерных и трехмерных континуальных полей имеют вид

4 = (2 - Р) . 4 - 2оР (3 - Р)-. (8.15)

Подставив эти границы в неравенотво (8.9) и рашив его относительно Л, получим для двумерных и трехмерных изотропных полей соответственно

>"=-7+77<Г>. «8.16)

Легко видеть, что новые оценки (8.16) и (8.17) дают более высокую нижнюю границу вероятности перколяции. чем (8.8). Например, в окрестности порога перколяции, р. е. при о. -*0, учет изотропии системы позволяет улучшить нижнюю оценку для плоского и пространственного полей соотвегственио в 2 и 1.5 раза. (98

0,2 0,1, 0.6 08

Рнс. 61. Зависимость вероитиости перколяции и ее нижних оценок от доли проводника в трехмерной изотропной сеточной структуре

o.s o,s

О.Ч- Ofi 0.8 Р

Рис. 62. Зависимость вероятности пгр-колянин и ее нижних оцеиоя от цо.пп проводника в двумерной иэотротий сеточной структуре

Есть основание полагать, что верхние границы Хашина - Штрикмана (8.15) пригодны и для произвольных плоских и пространственных макроизотропных сеток. В самом деле, при заданной доле непроводящих звеньев сетки ее макроскопическая изотропная проводимость будет тем больше, чем компактнее организованы непроводящие кластеры и чем меньше приходится непроводящих кластеров иа единицу объема сеточной области. Поэтому для получения верхней оценки эффективной проводимости прн фиксированной доле изолятора естественно рассмотреть систему, в которой непроводящие звенья образуют связные сеточные подобласти, объединяющие большое количество узлов, В этом случае новую систему можно считать эквивалентной некоторой континуальной системе, для которой, в свою очередь, верны границы Ха-шина-Штрикмана. Под эквивалентностью здесь подразумевается аппроксимация дифференциальных уравнений для тока и напряженности в континуальной среде системой уравнений Ома и Кирхгофа, выписанных для сетки. Отсюда следует, что неравенства (8.16) и (8.17) можно использовать для оценки вероятности перколяции произвольных двумерных и трехмерных изотропных сеток-

Приведем результаты сравнения оценок (8.8), (8.16), (8.17) с вероятностью перколяции, найденной в результате прямого математического эксперимента на кубических и квадратных сетках [32]. На рис. 61, 62 изображены зависимости вероятности перколяции К, оценок К, и 7 от доли проводящих звеньев кубической сетки 15X15x15 и квадратной решетки 50x50, Легко видеть, что учет информации об изотропии системы заметно, особенно в двумерном случае, улучшает нижнюю оценку,

В одиннадцатом разделе главы 6 были приведены неравенства (6.303 для компонент тензора эффективной проводимости анизотропной двумерной системы. Положив в левом неравенстве я\ -» О,