Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

позволяет записать двустороннее неравенство для корреляционной функции К = 1>ехр( -г/а)

S г/а

Рис. 8. Зависимость eespasmeiJHofl дисперсии дебита квазнодномерного течеиня 1 от пареметрв 1/а для раэличныи с = ЦЬ

Vf(ilQ)f{bla),

(3.20)

я так как в практических случаях известен лишь порядок а, а значение <р (г) с изменением аргумента меняется довольно плавно, то оценку (3.19) следует считать вполне удовлетворительной.

Рассмотрим некоторые примеры расчетов по формулам (3.15), (3.17). Удобно анализировать X = Сд/* - отношения коэффициентов вариации дебита и проницаемости. Очевидно, для случая (3.15)

а для случая (3.17)

h = Vi {lla)i{bia). (3.21)

График зависимости h{ct/l) при различных c=ltb представлен на рнс. 8, Кривые для параметра h совершенно аналогичны и потому Не приводятся.

Используя представления функций / и f прн больших значениях аргумента г (f-~-Ук/z, f ~-?/г), нетрудно записать приближенные выражения для X в том случае, когда масштаб неоднородности мал по сравнению с I и Ь.

X, =a\iyib, h=2alYlb. (3.221

Иными словами, безразмерная вариация дебита X пропорциональна отношению линейного масштаба иеоднородностн к среднему геометрическому размеру области течения.

Можно трактовать (3.22) и так: полагая, что Л = Ib/a характеризует отношение плоаидн области фильтрации к площади характерной неоднородности, получим

Грубо говоря, в рассматриваемом приближении вклад элементарной неоднородности в дебит аддитивен и независим (точнее некоррелирован),

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ДЕБИТА

Формулы (3.8), (3.12) дают возможность представить математическое ожидание дебита < q > в виде интеграла от функщш Грина 11 корреляционной функции проницаемости. Однако для

получения количественной информации анализ следует продолжить, задав конкретную корреляционную функцию. Но прежде чем заняться этим, рассмотрим важный асимптотический случай мелкомасштабных иеоднородностей. Будем считать, что случайное поле проницаемости, в достаточной степени произвольное, обладает тем свойством, что оно однородно в масштаб корреляции его а мал по сравнению с I а Ь.

Примем, что корреляционная функция имеет вид

K = Df(\x~x\/a. \у-у\/а). а«1, Ь. (3.23)

где симметричная функция своих аргументов /(iC. ItjD-• О при С-*--f со и со.

Обратившись к (3.12), запишем

<g2>=~~iUix. y)dxdy, <fix,y)=D-llG,K,-dxdtf "по 0 0

(3.24)

и исследуем ip (х. у) при all н ajb, стремящихся к нулю. Перейдем в (3.24) к новым переменным С и g. Тогда

Ч. (ДТ. </) = а J J <?; (X, у, X + аС. </ + a-q) k (С. Ы) rfCrf.

(3.25)

Как известно, 4нкпия Грина рассматриваемой задачи предста-вима Б виде

G(X, у. X, у) = (2г)- 1пг + Y (X. у, х\ у), (3.2б)

где / = (д: - х)-\-{у - у)Н т-функция, гармоническая всюду, включая полюс {х, у).

Оценивая 9{х,у) прн а-.-О в точках (х,у), лежащих внутри прямоугольника течения, из (3.25) получим

Т Ю = - j j I- (i 1п КСМУ) MlrfW.. (3.27)

Интегрируя (3.27) по частям с учетом изменения / при С-*-оо, найдем

¥ (. У) = j j (i In KCM=TV(1C, hl)rfW4 (3.28)

±ynr)=bit,) + lj„ (3.29)

И, наконец, учитывая равенство

получим (p(x, у) = 1/2, поскольку интеграл (3.28) от симметричной функции f и второго слагаемого в (3.29) равен нулю. Конечно, требование изотропии корреляционной функции несколько упростило

бы рассуждения, но тогда из рассмотрения выпадал бы случай корреляционной функции (3.16).

Итак, подставляя ip = 1/2, получим прн достаточно произвольных ограничениях на вид корреляционной функции

< 92 > = -?оС/2. (3.30)

Нетрудно заметить, что получив формулу (3.30), мы фактически не использовали того, что область течения - прямоугольник. Это и не удивительно, поскольку рассматривался случай мелкомасштабных неоднородностей.

Вычислим теперь математическое ожидание дебита плоского ква-зиодномерного течения при произвольных значениях afl и alb в том случае, когда корреляционная функция проницаемости имеет вид

К = Z>exp[- (3.31>

Подставив (3.31) и (3.11) в (3.12), получим после интегрирования и преобразований

- < ?2 >lgtP = П - "Р ( а)Ьр(&/а) + aipipj - агр, (рг - Рзв-" - - =чР? (Р4 - Pse-W) + р? (ре - ?1Ь-ч - pse-*/" + р9е-"+б)/«),

(3.32>

а = Цаг., р = Ыак, а, = 2(i/it, pi = 2p/ic, с = lib

Pi = S ma, fmn =

m.n=l

(m + nV)(«2 + a=>)(«4P)*

m-n-1 m.rt-1

„2p2 . P5= 2j n+p:

IR.n-I

2 . a2

VI (-l)mn

2j (ffl+a) („2 p2) . P7= 2j (m2 + а») («2 +

fi.n-I m.i=l

Ряды (3.32) медленно сходятся и потому малопригодны для вычислений. Ускорение их сходимости связано о использованием известных соотношений!